Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
f(t)=0,7^t mu(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular, usando integração, a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e aplicar a integral apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Aqui, é uma variável complexa. No nosso caso, . A função é a função de Heaviside, que basicamente garante que a função seja zero para .

Passo 3

Vamos substituir L0,7^t mu(t) = integral0^infty e^-st cdot 0,7^t , dt na definição da transformada de Laplace:
0,7^t = e^t ln 0,7
Agora, vamos simplificar a expressão L0,7^t mu(t) = integral0^infty e^-st cdot e^t ln 0,7 , dt = integral0^infty e^t (ln 0,7 - s) , dt . Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar a função exponencial:
integral0^infty e^t (ln 0,7 - s) , dt
Para que essa integral convirja, o expoente ln 0,7 - s < 0 Rightarrow s > ln 0,7 deve ser negativo, ou seja:
Sabendo que é um número negativo, isso significa que a transformada de Laplace existirá para valores de maiores que .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^infty e^t (ln 0,7 - s) , dt = [ e^t (ln 0,7 - s)ln 0,7 - s ]0^infty
Para que a integral convirja, limt to infty e^t (ln 0,7 - s)ln 0,7 - s - e^0ln 0,7 - s = 0 - 1ln 0,7 - s = 1s - ln 0,7 , já vimos que isso requer . Aplicando os limites:

Resposta

A transformada de Laplace de L0,7^t mu(t) = 1s - ln 0,7 é:
E a região de convergência é para .

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