Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular, usando integração, a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e aplicar a integral apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa. No nosso caso,
. A função
é a função de Heaviside, que basicamente garante que a função
seja zero para
.
Passo 3
Vamos substituir
na definição da transformada de Laplace:
Agora, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então:
Substituindo isso na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar a função exponencial:
Para que essa integral convirja, o expoente
deve ser negativo, ou seja:
Sabendo que
é um número negativo, isso significa que a transformada de Laplace existirá para valores de
maiores que
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Para que a integral convirja,
, já vimos que isso requer
. Aplicando os limites:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
E a região de convergência é para
.