Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos. Primeiro, o enunciado nos pede para calcular a transformada de Laplace da função
e determinar a região de convergência. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do tempo (como
) para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e conhecer algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Vamos começar aplicando a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Então, vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Primeiro, separamos a transformada de Laplace em duas partes, já que a transformada é linear:
Vamos calcular cada uma dessas partes separadamente.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Então, multiplicando pelo 4:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. A transformada de Laplace de
é:
Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Passo 7
Por fim, precisamos determinar a região de convergência (ROC). A ROC para cada parte da transformada de Laplace é:
- Para
, a ROC é - Para
, a ROC é
A ROC conjunta será a interseção dessas duas regiões, ou seja:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
E a região de convergência é
.