Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
f(t)=[4 t e^-7 t+cos (3 t)] mu(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos. Primeiro, o enunciado nos pede para calcular a transformada de Laplace da função e determinar a região de convergência. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do tempo (como ) para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e conhecer algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Vamos começar aplicando a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Então, vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Primeiro, separamos a transformada de Laplace em duas partes, já que a transformada é linear:
Lf(t) = L4 t e^-7 t + Lcos(3 t)
Vamos calcular cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

Vamos calcular Lt e^a t = 1(s - a)^2 . Sabemos que a transformada de Laplace de Lt e^-7 t = 1(s + 7)^2 é:
L4 t e^-7 t = 4(s + 7)^2
No nosso caso, , então:
Então, multiplicando pelo 4:

Passo 5

Agora, vamos calcular Lcos(omega t) = ss^2 + omega^2 . A transformada de Laplace de Lcos(3 t) = ss^2 + 9 é:
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Lf(t) = 4(s + 7)^2 + ss^2 + 9

Passo 7

Por fim, precisamos determinar a região de convergência (ROC). A ROC para cada parte da transformada de Laplace é:
  • Para Região de Convergência: Re(s) > 0 , a ROC é
  • Para , a ROC é
A ROC conjunta será a interseção dessas duas regiões, ou seja:
ãê

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = 4(s + 7)^2 + ss^2 + 9 é:
E a região de convergência é .

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