Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
f(t)=53+t mu(t)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: calcular a transformada de Laplace da função usando uma tabela de transformadas e propriedades da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar o que é a transformada de Laplace, conhecer algumas propriedades básicas e saber identificar funções que estão nas tabelas de transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite o uso da tabela de transformadas. A função dada é . Podemos reescrever isso como . Aqui, representa a função degrau de Heaviside, mas como está multiplicando todo o termo, podemos focar na parte .

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Nossa meta é aplicar essa definição à função .

Passo 4

Vamos substituir L5t + 3 = 5 integral0^infty e^-s tt + 3 , dt na definição da transformada de Laplace:
Aqui, fatoramos o 5 para simplificar a integral.

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir 5 integral3^infty e^-s (u - 3)u , du = 5 e^3 s integral3^infty e^-s uu , du , o que implica que e . Também precisamos ajustar os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral resultante Ei(x) = -integral-x^infty e^-tt , dt para x > 0 está relacionada à função integral exponencial integral3^infty e^-s uu , du = -Ei(-3 s) , que é definida como:
Aplicando essa definição, temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
5 e^3 s cdot (-Ei(-3 s)) = -5 e^3 s Ei(-3 s)

Resposta

A transformada de Laplace de L53 + t = -5 e^3 s , Ei(-3 s) é:

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