Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: calcular a transformada de Laplace da função
usando uma tabela de transformadas e propriedades da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar o que é a transformada de Laplace, conhecer algumas propriedades básicas e saber identificar funções que estão nas tabelas de transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite o uso da tabela de transformadas. A função dada é
. Podemos reescrever isso como
. Aqui,
representa a função degrau de Heaviside, mas como está multiplicando todo o termo, podemos focar na parte
.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Nossa meta é aplicar essa definição à função
.
Passo 4
Vamos substituir
na definição da transformada de Laplace:
Aqui, fatoramos o 5 para simplificar a integral.
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir
, o que implica que
e
. Também precisamos ajustar os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral resultante
está relacionada à função integral exponencial
, que é definida como:
Aplicando essa definição, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: