Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
f(t)=de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace e suas propriedades. Vamos precisar da tabela de transformadas de Laplace e entender como aplicar propriedades como a mudança de escala e o deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(t) = de em duas partes para facilitar:
A transformada de Laplace é linear, o que significa que podemos transformar cada parte individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a transformada da função Lde. A função delta de Dirac Lde tem uma transformada de Laplace conhecida:
Então, para :

Passo 4

Agora, vamos transformar a segunda parte: Lt e^a t = 1(s - a)^2 . Aqui, Lt e^-4 t = 1(s + 4)^2 é a função degrau de Heaviside, que garante que a função é zero para e igual a para .
Sabemos que a transformada de Laplace de é:
No nosso caso, , então substituímos:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes transformadas, temos:
Lf(t) = Lde
Substituindo os valores que encontramos:
Lf(t) = e^-s + 1(s + 4)^2

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = e^-s + 1(s + 4)^2 é:

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