Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa: d^3 yd t^3+5 d^2 yd t^2+7 d yd t+3 y=4 d xd t-6 x;
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem que relaciona a saída com a entrada . O objetivo é encontrar os polos e zeros do sistema e comentar sobre a estabilidade assintótica dele. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e análise de funções de transferência. Vamos precisar entender como transformar a equação diferencial em uma função de transferência e identificar onde os polos e zeros estão localizados no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Lembre-se que, ao aplicar a transformada de Laplace, as derivadas se transformam da seguinte maneira:
Ld^n yd t^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - dots - y^(n-1)(0)
Como estamos assumindo condições iniciais nulas (ou seja, s^3 Y(s) + 5 s^2 Y(s) + 7 s Y(s) + 3 Y(s) = 4 s X(s) - 6 X(s) ), a equação transformada fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o Y(s) (s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3) = X(s) (4 s - 6) do lado esquerdo da equação:
Y(s)X(s) = 4 s - 6s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3
Para encontrar a função de transferência , vamos isolar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

A função de transferência que encontramos é:
H(s) = Y(s)X(s) = 4 s - 6s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3
Os zeros do sistema são os valores de 4 s - 6 = 0 implies s = 64 = 32 que anulam o numerador, ou seja, resolvemos :
Então, o sistema tem um zero em .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os polos do sistema, que são os valores de s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3 = 0 que anulam o denominador da função de transferência. Precisamos resolver a equação cúbica:
(-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvido por métodos numéricos ou fatorando, se possível. Vamos tentar fatorar. Testando s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3 = (s + 1)(s^2 + 4 s + 3) :
s = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22
Então, s = -4 + 22 = -1 e s = -4 - 22 = -3 é uma raiz. Podemos dividir o polinômio por :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, temos duas raízes:
Portanto, os polos estão em (com multiplicidade 2) e .

Passo 6

Agora que temos os polos e zeros, podemos plotar o mapa de polos e zeros no plano complexo. O sistema tem:
  • Um zero em (no lado direito do plano real).
  • Dois polos em e um polo em (no lado esquerdo do plano real).

Passo 7

Por último, vamos comentar sobre a estabilidade assintótica do sistema. Um sistema é assimptoticamente estável se todos os seus polos estiverem no semiplano esquerdo do plano complexo, ou seja, se todas as partes reais dos polos forem negativas.
No nosso caso, os polos estão em e , ambos com partes reais negativas. Isso significa que o sistema é assimptoticamente estável.

Resposta

O sistema possui um zero em e polos em (com multiplicidade 2) e . Como todos os polos estão no semiplano esquerdo, o sistema é assimptoticamente estável.

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