Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa:
;
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o mapa de polos e zeros de cada sistema representado pela equação diferencial dada e comentar sobre a estabilidade assintótica deles. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformadas de Laplace e funções de transferência, que são ferramentas essenciais na análise de sistemas dinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando transformadas de Laplace. Lembre-se que, ao aplicar a transformada de Laplace em uma derivada, temos:
Assumindo condições iniciais nulas (ou seja,
e
), a equação transforma-se em:
Passo 3
Agora, vamos isolar
em função de
. Para isso, fatoramos
do lado esquerdo e
do lado direito:
Então, a função de transferência
que relaciona
a
é:
Passo 4
Para encontrar os polos e zeros, precisamos identificar as raízes do numerador e do denominador da função de transferência.
Primeiro, os zeros são as soluções de
. Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, os zeros são complexos:
Agora, os polos são as soluções de
. Podemos fatorar:
Então, temos um polo em
e os outros polos resolvendo
:
Portanto, os polos são
e
(com multiplicidade 2).
Passo 5
Agora, vamos comentar sobre a estabilidade assintótica do sistema. A estabilidade assintótica depende da localização dos polos no plano complexo:
- Polos com parte real negativa: Contribuem para a estabilidade, pois as respostas decaem exponencialmente.
- Polos com parte real positiva ou nula: Indicam instabilidade ou marginal estabilidade.
No nosso caso, os polos são
e
. O polo em
está localizado exatamente na origem, que é um limite para a estabilidade assintótica. Já os polos em
estão no semiplano esquerdo, indicando contribuições estáveis.
Porém, devido ao polo em
, o sistema não é assintoticamente estável, já que há uma resposta que não decai nem cresce com o tempo (a parte constante).
Resposta
Os zeros do sistema são
e os polos são
e
(com multiplicidade 2). O mapa de polos e zeros mostra que, embora os polos em
indiquem estabilidade, o polo na origem (
) impede a estabilidade assintótica do sistema.