Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa: d^3 yd t^3+2 d^2 yd t^2+1 d yd t=8 d^2 xd t^2-d xd t+2,2 x;
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o mapa de polos e zeros de cada sistema representado pela equação diferencial dada e comentar sobre a estabilidade assintótica deles. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformadas de Laplace e funções de transferência, que são ferramentas essenciais na análise de sistemas dinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando transformadas de Laplace. Lembre-se que, ao aplicar a transformada de Laplace em uma derivada, temos:
Ld^n ydt^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - dots - y^(n-1)(0)
Assumindo condições iniciais nulas (ou seja, s^3 Y(s) + 2s^2 Y(s) + s Y(s) = 8s^2 X(s) - s X(s) + 2.2 X(s) e ), a equação transforma-se em:

Passo 3

Agora, vamos isolar Y(s) (s^3 + 2s^2 + s) = X(s) (8s^2 - s + 2.2) em função de H(s) = Y(s)X(s) = 8s^2 - s + 2.2s^3 + 2s^2 + s . Para isso, fatoramos do lado esquerdo e do lado direito:
Então, a função de transferência que relaciona a é:

Passo 4

Para encontrar os polos e zeros, precisamos identificar as raízes do numerador e do denominador da função de transferência.
Primeiro, os zeros são as soluções de s = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
s = 1 pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 8 cdot 2.22 cdot 8 = 1 pm raiz1 - 70.416 = 1 pm raiz-69.416
Onde s = 116 pm j raiz69.416 approx 0.0625 pm j 0.657 , s(s^2 + 2s + 1) = 0 , e s = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1 :
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, os zeros são complexos:
Agora, os polos são as soluções de . Podemos fatorar:
Então, temos um polo em e os outros polos resolvendo :
Portanto, os polos são e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos comentar sobre a estabilidade assintótica do sistema. A estabilidade assintótica depende da localização dos polos no plano complexo:
  • Polos com parte real negativa: Contribuem para a estabilidade, pois as respostas decaem exponencialmente.
  • Polos com parte real positiva ou nula: Indicam instabilidade ou marginal estabilidade.
No nosso caso, os polos são e . O polo em está localizado exatamente na origem, que é um limite para a estabilidade assintótica. Já os polos em estão no semiplano esquerdo, indicando contribuições estáveis.
Porém, devido ao polo em , o sistema não é assintoticamente estável, já que há uma resposta que não decai nem cresce com o tempo (a parte constante).

Resposta

Os zeros do sistema são e os polos são e (com multiplicidade 2). O mapa de polos e zeros mostra que, embora os polos em indiquem estabilidade, o polo na origem ( ) impede a estabilidade assintótica do sistema.

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