Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
f(t)=t^2 e^-6 t mu(t)+(t-3) mu(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função:
f(t) = t^2 e^-6 t mu(t) + (t - 3) mu(t - 3)
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em engenharia e matemática para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades, como a linearidade e o teorema da transformação do deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função f(t) = f1(t) + f2(t) em duas partes para facilitar a aplicação da transformada de Laplace:
Onde:
Vamos calcular a transformada de cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar com Lt^n e^-a t = n!(s + a)^n + 1 .
A transformada de Laplace de Lt^2 e^-6 t = 2!(s + 6)^3 = 2(s + 6)^3 é dada por:
Aqui, e , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: Lf(t - a)mu(t - a) = e^-a s F(s) .
Para funções com deslocamento no tempo, usamos a propriedade:
Lt = 1s^2
Onde L(t - 3) mu(t - 3) = e^-3 s cdot 1s^2 = e^-3 ss^2 é a transformada de .
Neste caso, e . A transformada de é:
Aplicando a propriedade:

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes usando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que nos permite somar as transformadas:
Lf(t) = Lf1(t) + Lf2(t)
Substituindo os resultados que obtivemos:
Lf(t) = 2(s + 6)^3 + e^-3 ss^2

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(t) = 2(s + 6)^3 + e^-3 ss^2 é:

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