Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
f(t)=de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função usando integração. A transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicar a função delta de Dirac nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e a integral vai de 0 até o infinito. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função .

Passo 3

Agora, substituímos Lde na definição:
A função delta de Dirac, , tem a propriedade de “amostrar” o valor da função multiplicada por ela no ponto . Isso significa que a integral de vai “extrair” o valor de em .

Passo 4

Aplicando a propriedade da função delta:
integral0^infty e^-st de
Então, a transformada de Laplace de é .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a região de convergência (ROC). A transformada de Laplace convergirá se a integral que definimos existir. No caso da função delta, a exponencial é uma função inteira do (ou seja, definida para todo no plano complexo), o que significa que a ROC é todo o plano complexo.

Resposta

A transformada de Laplace de é e a região de convergência é todo o plano complexo.

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