Calcule por integração a transformada de Laplace e determine quando possível a região de convergência das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
usando integração. A transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicar a função delta de Dirac nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa e a integral vai de 0 até o infinito. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Agora, substituímos
na definição:
A função delta de Dirac,
, tem a propriedade de “amostrar” o valor da função multiplicada por ela no ponto
. Isso significa que a integral de
vai “extrair” o valor de
em
.
Passo 4
Aplicando a propriedade da função delta:
Então, a transformada de Laplace de
é
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a região de convergência (ROC). A transformada de Laplace convergirá se a integral que definimos existir. No caso da função delta, a exponencial
é uma função inteira do
(ou seja, definida para todo
no plano complexo), o que significa que a ROC é todo o plano complexo.
Resposta
A transformada de Laplace de
é
e a região de convergência é todo o plano complexo.