Calcule as integrais:
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Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x,sin^2(x^2),dx. É um exercício de integração que envolve usar uma identidade trigonométrica para sin^2 e depois fazer substituição.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2(x^2) = 1 - cos(2x^2)2
Logo
integral x,sin^2(x^2),dx = 12integral x,dx - 12integral x,cos(2x^2),dx

Passo 3

Primeiro, calculamos
12integral x,dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 4

Agora, para integral x,cos(2x^2),dx, fazemos a substituição
u = 2x^2, dv = du = 4x,dx implies x,dx = du4
Assim
integral x,cos(2x^2),dx = 14 integral cos(u),du = 14sin(u) = sin(2x^2)4

Passo 5

Como havia o fator 1/2 nessa parte, temos
12integral x,cos(2x^2),dx = sin(2x^2)8
Juntando tudo e acrescentando a constante de integração, obtemos a resposta final.

Resposta

x^24 - sin(2x^2)8 + C

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