Encontre o centro de massa de uma lâmina na forma de um triângulo com vértices
e
com densidade constante.
Passo 1
O problema pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (b,0) e (0,h) e densidade constante. Como a densidade é uniforme, podemos usar as fórmulas $\bar x = \frac{1}{A} \iint x ,dA$ e $\bar y = \frac{1}{A} \iint y ,dA$, definindo os limites da região triangular.
Passo 2
Calcular a área do triângulo, que vai servir de denominador nas fórmulas do centro de massa. Como base = b e altura = h, temos
$$
A = \frac{b,h}{2}.
$$
A = \frac{b,h}{2}.
$$
Passo 3
Determinar $\bar x$. A região triangular pode ser descrita por \0 \le x \le b\ e \0 \le y \le h\left(1 - \frac{x}{b}\right)\. Montamos a integral:
$$
\bar x = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} x ,dy,dx.
$$
\bar x = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} x ,dy,dx.
$$
Integrando em y:
$$
\int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} x ,dy = x,h\left(1 - \frac{x}{b}\right).
$$
\int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} x ,dy = x,h\left(1 - \frac{x}{b}\right).
$$
Em seguida, em x:
$$
\int_{0}^{b} x,h\left(1 - \frac{x}{b}\right) ,dx = h\int_{0}^{b} \left(x - \frac{x^2}{b}\right) dx = \frac{h b^2}{6}.
$$
\int_{0}^{b} x,h\left(1 - \frac{x}{b}\right) ,dx = h\int_{0}^{b} \left(x - \frac{x^2}{b}\right) dx = \frac{h b^2}{6}.
$$
Logo,
$$
\bar x = \frac{1}{A} \cdot \frac{h b^2}{6} = \frac{2}{b h} \cdot \frac{h b^2}{6} = \frac{b}{3}.
$$
\bar x = \frac{1}{A} \cdot \frac{h b^2}{6} = \frac{2}{b h} \cdot \frac{h b^2}{6} = \frac{b}{3}.
$$
Passo 4
Determinar $\bar y$ de modo análogo. Montamos:
$$
\bar y = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} y ,dy,dx.
$$
\bar y = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} y ,dy,dx.
$$
Integrando em y:
$$
\int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} y ,dy = \frac{h^2}{2} \left(1 - \frac{x}{b}\right)^2.
$$
\int_{0}^{h(1 - \frac{x}{b})} y ,dy = \frac{h^2}{2} \left(1 - \frac{x}{b}\right)^2.
$$
Em seguida, em x:
$$
\int_{0}^{b} \frac{h^2}{2} \left(1 - \frac{x}{b}\right)^2 dx = \frac{b h^2}{6}.
$$
\int_{0}^{b} \frac{h^2}{2} \left(1 - \frac{x}{b}\right)^2 dx = \frac{b h^2}{6}.
$$
Logo,
$$
\bar y = \frac{1}{A} \cdot \frac{b h^2}{6} = \frac{2}{b h} \cdot \frac{b h^2}{6} = \frac{h}{3}.
$$
\bar y = \frac{1}{A} \cdot \frac{b h^2}{6} = \frac{2}{b h} \cdot \frac{b h^2}{6} = \frac{h}{3}.
$$
Resposta
(
)