Calcule as integrais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ig=integral cosl(ln[sec(x)]r)-csc^2(x)cot(x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e uso de substituição para simplificar expressões em função de ln(sec x).

Passo 2

Repare que dividir por cot(x) equivale a multiplicar por tan(x). Assim,
Ig =integral l[cosl(ln[sec(x)]r)-csc^2(x)r]1cot(x),dx =integral tan(x)cosl(ln[sec(x)]r),dx -integral tan(x)csc^2(x),dx

Passo 3

Para o primeiro termo, use a substituição
u=lnl(sec(x)r), du=ddxln(sec x),dx =tan(x),dx
Então
integral tan(x)cosl(ln[sec(x)]r),dx =integral cos(u),du =sin(u) =sinl(ln[sec(x)]r)

Passo 4

Para o segundo termo, note que
tan(x),csc^2(x) =sin(x)cos(x)cdot1sin^2(x) =1sin(x)cos(x) =sec(x)csc(x)
Logo
integral tan(x)csc^2(x),dx =integral sec(x)csc(x),dx =integral dxsin(x)cos(x)
Usando
1sin xcos x =sin^2x+cos^2xsin xcos x =tan(x)+cot(x),
temos
integral sec(x)csc(x),dx =integral tan(x),dx+integral cot(x),dx =-lnlvertcos(x)rvert+lnlvertsin(x)rvert =lnllverttan(x)rrvert
Portanto
integral tan(x)csc^2(x),dx =lnllverttan(x)rrvert

Passo 5

Juntando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
Ig =sinl(ln[sec(x)]r) -lnllverttan(x)rrvert + C

Resposta

Ig=sinl(ln[sec(x)]r)-lnllverttan(x)rrvert+C

Exercícios relacionados