Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(x^2-5)^3(x^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(x^2-5)^3(x^2+4)^2
Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz
gl(ghgr)'=g',h - g,h'h^2,
e a regra da cadeia para derivar potências de funções.

Passo 2

Identificamos
g(x)=(x^2-5)^3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de g é
g'(x)=3,(x^2-5)^2cdot(2x)=6x,(x^2-5)^2

Passo 3

Agora o denominador
h(x)=(x^2+4)^2
Também pela regra da cadeia,
h'(x)=2,(x^2+4)cdot(2x)=4x,(x^2+4)

Passo 4

Pela regra do quociente,
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2 =6x,(x^2-5)^2(x^2+4)^2;-;(x^2-5)^3,4x,(x^2+4)(x^2+4)^4

Passo 5

Fatorando 2x,(x^2-5)^2(x^2+4) no numerador:
Num &=2x,(x^2-5)^2(x^2+4)l[3,(x^2+4)-2,(x^2-5)r] &=2x,(x^2-5)^2(x^2+4)l(3x^2+12-2x^2+10r) =2x,(x^2-5)^2(x^2+4)(x^2+22)
Cancelando um fator (x^2+4) com o denominador (x^2+4)^4, obtemos
f'(x) =2x,(x^2-5)^2(x^2+22)(x^2+4)^3

Resposta

f'(x)=2x,(x^2-5)^2(x^2+22)(x^2+4)^3

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