Seja D uma matriz diagonal n times n, D=diag(lambda1, cdots, lambdan). Demonstrar que a série matricial sumk=0^infty D^k / k ! converge e é também uma matriz diagonal,
sumk=0^infty D^kk!=diag(e^lambda1, ldots, e^lambdan)
(O termo correspondente a k=0 se entende que é a matriz identidade I.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a matriz diagonal
D = diag(lambda1,dots,lambdan),
a série matricial
sumk=0^inftyD^kk!
converge e é ela própria diagonal com entradas sumk=0^inftylambdai^k/k!. O conteúdo principal é a definição de potências de matrizes diagonais e a convergência termo a termo de séries de números.

Passo 2

Como D é diagonal, cada potência D^k também é diagonal, e mais precisamente
D^k ;=;diagl(lambda1^k,dots,lambdan^kr)
Isso segue do fato de que, ao multiplicar diagonais, multiplicam‐se apenas as entradas correspondentes.

Passo 3

Escrevendo a soma termo a termo temos
sumk=0^inftyD^kk! =sumk=0^infty1k!,diag(lambda1^k,dots,lambdan^k) =diagl(sumk=0^inftylambda1^kk!,dots,sumk=0^inftylambdan^kk!r)
Cada série escalar sumk=0^inftylambdai^k/k! é a série de Taylor de e^lambdai, que sabemos convergir absolutamente para todo lambdaiinR (ou C).

Passo 4

Como cada série sumk=0^inftylambdai^k/k! converge para e^lambdai, segue que a série matricial converge para
diag(e^lambda1,dots,e^lambdan)

Resposta

sumk=0^inftyD^kk! =diagl(e^lambda1,dots,e^lambdanr)

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