Seja
uma matriz diagonal
. Demonstrar que a série matricial
! converge e é também uma matriz diagonal,
(O termo correspondente a
se entende que é a matriz identidade
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a matriz diagonal
a série matricial
converge e é ela própria diagonal com entradas
. O conteúdo principal é a definição de potências de matrizes diagonais e a convergência termo a termo de séries de números.
Passo 2
Como
é diagonal, cada potência
também é diagonal, e mais precisamente
Isso segue do fato de que, ao multiplicar diagonais, multiplicam‐se apenas as entradas correspondentes.
Passo 3
Escrevendo a soma termo a termo temos
Cada série escalar
é a série de Taylor de
, que sabemos convergir absolutamente para todo
(ou
).
Passo 4
Como cada série
converge para
, segue que a série matricial converge para