Calcule as integrais.
[1,5] \int_{-3}^{1} \frac{d x}{(x+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-3}^{1}\frac{dx}{(x+2)^{3}}
Este é um caso de integral imprópria pois o integrando fica singular em x=-2, que está dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Para tratar a singularidade em x=-2, dividimos a integral em duas partes, usando limites laterais:
\int_{-3}^{1}\frac{dx}{(x+2)^{3}} =\lim_{t\to(-2)^{-}}\int_{-3}^{t}\frac{dx}{(x+2)^{3}} +\lim_{s\to(-2)^{+}}\int_{s}^{1}\frac{dx}{(x+2)^{3}}.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de \frac{1}{(x+2)^{3}}. Usamos a regra de potência:
\int (x+2)^{-3}dx =\frac{(x+2)^{-2}}{-2} =-\frac{1}{2(x+2)^{2}}.

Passo 4

Avaliamo-la na primeira parte
\int_{-3}^{t}\frac{dx}{(x+2)^{3}} =\left[-\frac{1}{2(x+2)^{2}}\right]_{x=-3}^{x=t} =-\frac{1}{2(t+2)^{2}}+\frac{1}{2(-3+2)^{2}} =-\frac{1}{2(t+2)^{2}}+\frac{1}{2}.
Ao tomar t\to-2^{-}, o termo -\frac{1}{2(t+2)^{2}} tende a -\infty. Logo a primeira parte diverge para -\infty.

Passo 5

Na segunda parte temos
\int_{s}^{1}\frac{dx}{(x+2)^{3}} =\left[-\frac{1}{2(x+2)^{2}}\right]_{x=s}^{x=1} =-\frac{1}{2(1+2)^{2}}+\frac{1}{2(s+2)^{2}} =-\frac{1}{18}+\frac{1}{2(s+2)^{2}}.
Quando s\to-2^{+}, o termo \frac{1}{2(s+2)^{2}} tende a +\infty. Logo a segunda parte diverge para +\infty.

Passo 6

Como cada limite lateral diverge (um para -\infty e outro para +\infty), a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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