Considere a série
, onde
. Quanto a sua convergência é possível afirmar que:
(a) A série diverge se e somente se
.
(b) A série converge para todo
.
(c) A série converge se e somente se
.
(d) A série diverge para todo
.
(e) A série converge se e somente se
.
(a) A série diverge se e somente se
(b) A série converge para todo
(c) A série converge se e somente se
(d) A série diverge para todo
(e) A série converge se e somente se
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou critério de Cauchy) e, para avaliar
, vamos usar a fórmula de Stirling.
Passo 2
O teste da raiz diz que, se
então a série converge absolutamente se
, diverge se
, e é inconclusivo se
.
Passo 3
Calculemos
Note que
Passo 4
Pela Stirling, temos
Logo
Passo 5
Portanto
independente de
. Pelo teste da raiz, a série converge para todo
.
Resposta
(b) A série converge para todo
.