Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{p} \frac{n!}{n^{n}}, onde p \in \mathbb{R}. Quanto a sua convergência é possível afirmar que:
(a) A série diverge se e somente se p \leq 1.
(b) A série converge para todo p \in \mathbb{R}.
(c) A série converge se e somente se p<0.
(d) A série diverge para todo p \in \mathbb{R}.
(e) A série converge se e somente se p \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad a_n = n^{p}\,\frac{n!}{n^{n}},
onde p\in\mathbb{R}. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou critério de Cauchy) e, para avaliar \sqrt[n]{n!}, vamos usar a fórmula de Stirling.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|},
então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1, e é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculemos
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{n^p}\;\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}.
Note que
\sqrt[n]{n^p} =\exp\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\,p\ln n\Bigr) \longrightarrow 1 \quad(n\to\infty).

Passo 4

Pela Stirling, temos
n! \sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt[n]{n!}\sim \frac{n}{e} \quad(n\to\infty).
Logo
\sqrt[n]{a_n} \sim 1\;\frac{n/e}{n} =\frac{1}{e}.

Passo 5

Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{e} < 1,
independente de p. Pelo teste da raiz, a série converge para todo p\in\mathbb{R}.

Resposta

(b) A série converge para todo p\in\mathbb{R}.

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