Verifique se cada sequência \left(a_{n}\right) é convergente e calcule o limite daquelas que forem.
a_{n}=\cos (n \pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \bigl(a_{n}\bigr) definida por
a_{n} = \cos\bigl(n\pi\bigr).
O conteúdo é análise de convergência de sequência real: precisamos identificar se existe \lim_{n\to\infty}a_{n} e, se existir, calcular esse limite.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\cos\bigl(n\pi\bigr) = (-1)^{n}.
Logo,
a_{n} = (-1)^{n}.

Passo 3

Analisamos as duas subsequências definidas pelos termos de índice par e ímpar:
  • Para n=2k, a_{2k} = (-1)^{2k} = 1.
  • Para n=2k+1, a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1.

Passo 4

Como a subsequência dos índices pares tende a 1 e a dos índices ímpares tende a -1, os limites parciais são diferentes. Portanto a sequência não se aproxima de um único valor.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) não é convergente.

Exercícios relacionados