Prove que lim \sqrt[n]{n!}=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty.
Ou seja, para a sequência a_n=\sqrt[n]{n!} devemos mostrar que os termos a_n crescem sem limite: para qualquer número grande M>0 existe N tal que, para todo n\ge N, a_n>M.
Informações dadas (explícitas ou óbvias):
  • n! é o fatorial: n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.
  • A sequência considerada é a raiz enésima de n!: a_n=(n!)^{1/n}.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): é mais fácil provar que a_n\to+\infty encontrando uma desigualdade do tipo
\sqrt[n]{n!}\ge b_n,
onde b_n\to+\infty. Assim, por comparação (se a_n\ge b_n e b_n\to+\infty então a_n\to+\infty) concluímos o desejado. Vou construir uma desigualdade simples e limpa que produz um b_n fácil de analisar.

Passo 3

Construção da desigualdade: entre os fatores 1,2,\dots,n do produto n! há pelo menos \lfloor n/2\rfloor fatores maiores ou iguais a \lceil n/2\rceil. Uma forma direta e prática é observar: os números k com k\ge n/2 são muitos — pelo menos n/2 deles (quando n é par são exatamente n/2; quando ímpar, são (n+1)/2, que ainda é \ge n/2). Logo, entre os n fatores de n! existem pelo menos n/2 fatores cujo valor é \ge n/2.
Com isso obtemos a desigualdade (válida para n\ge 2):
n! = 1\cdot2\cdots n \ge \Big(\frac{n}{2}\Big)^{\,n/2}.
Explicação da passagem: multiplicando pelo menos n/2 termos que valem cada um pelo menos n/2, o produto total é no mínimo (n/2)^{n/2}. (Se preferir, separar casos par/ímpar dá a mesma conclusão; aqui fiz uma versão que cobre ambos de forma compacta.)

Passo 4

Tomando a raiz enésima dos dois lados da desigualdade do Passo 3, obtemos
\sqrt[n]{n!} \ge \Big(\Big(\frac{n}{2}\Big)^{\,n/2}\Big)^{1/n} = \Big(\frac{n}{2}\Big)^{1/2} = \sqrt{\frac{n}{2}}.
Aqui usei a propriedade de potências \big(x^{\alpha}\big)^{\beta}=x^{\alpha\beta} com x=\dfrac{n}{2}, \alpha=\dfrac{n}{2} e \beta=\dfrac{1}{n}.

Passo 5

Análise do limite do lado direito: sabemos que
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{2}}=+\infty,
porque \sqrt{n/2} cresce sem limite quando n\to\infty (é uma raiz quadrada de uma quantidade que tende a infinito).

Passo 6

Conclusão por comparação: como para todo n\ge 2
\sqrt[n]{n!}\ge \sqrt{\frac{n}{2}},
e \sqrt{n/2}\to+\infty, segue que \sqrt[n]{n!}\to+\infty. Em palavras: a sequência a_n=\sqrt[n]{n!} é maior que outra sequência que diverge para +\infty; portanto a_n também diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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