Prove que lim
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que
Ou seja, para a sequência
devemos mostrar que os termos
crescem sem limite: para qualquer número grande
existe
tal que, para todo
,
.
Informações dadas (explícitas ou óbvias):
-
é o fatorial: . - A sequência considerada é a raiz enésima de
: .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): é mais fácil provar que
encontrando uma desigualdade do tipo
onde
. Assim, por comparação (se
e
então
) concluímos o desejado. Vou construir uma desigualdade simples e limpa que produz um
fácil de analisar.
Passo 3
Construção da desigualdade: entre os fatores
do produto
há pelo menos
fatores maiores ou iguais a
. Uma forma direta e prática é observar: os números
com
são muitos — pelo menos
deles (quando
é par são exatamente
; quando ímpar, são
, que ainda é
). Logo, entre os
fatores de
existem pelo menos
fatores cujo valor é
.
Com isso obtemos a desigualdade (válida para
):
Explicação da passagem: multiplicando pelo menos
termos que valem cada um pelo menos
, o produto total é no mínimo
. (Se preferir, separar casos par/ímpar dá a mesma conclusão; aqui fiz uma versão que cobre ambos de forma compacta.)
Passo 4
Tomando a raiz enésima dos dois lados da desigualdade do Passo 3, obtemos
Aqui usei a propriedade de potências
com
,
e
.
Passo 5
Análise do limite do lado direito: sabemos que
porque
cresce sem limite quando
(é uma raiz quadrada de uma quantidade que tende a infinito).
Passo 6
Conclusão por comparação: como para todo
e
, segue que
. Em palavras: a sequência
é maior que outra sequência que diverge para
; portanto
também diverge para
.