" Questão.
Calcule a integral
trocando a ordem de integração.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integral interna é
com parâmetro . - A integral externa é em
de a . - O objetivo explícito é trocar a ordem de integração e calcular o valor numérico da integral dupla resultante.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A forma original corresponde a:
Isso significa que a região
é o triângulo fechado
isto é, a parte do quadrado
acima da reta
. Visualize: para cada
entre
e
o
vai de
até
.
Passo 3
Queremos inverter a ordem de integração. Para isso descrevemos
trocando a ordem de variação:
- Qual é o menor e maior valor de
na região? varia de até . - Para um
fixo (com ), quais valores de pertencem a ? Como , temos variando de até .
Assim a descrição invertida da região é
Observação sobre integrabilidade: a função
é não-negativa em
. Pelo Teorema de Tonelli (que permite trocar ordem para funções não-negativas), podemos trocar a ordem de integração sem problemas. (Intuitivamente: a única dificuldade teórica seria na linha
, mas o conjunto de pontos com
tem medida zero e a função é bem comportada como integral imprópria; a justificativa via Tonelli evita complicações.)
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos
Passo 5
Agora calculamos a integral interna em
:
Para integrar
em relação a
usamos a substituição simples: seja
. Então
, logo
.
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo,
A integral de
é
. Portanto
Logo
Passo 6
Substituímos o resultado na integral externa em
:
Tirando a constante
para fora:
A integral de
de
a
é
, pois
Portanto o valor total é