" Questão.
Calcule a integral
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y} d y\right) d x
trocando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y}\, d y\right) d x.
Informações dadas:
  • A integral interna é \int_{x}^{1} e^{x / y}\, d y com parâmetro x.
  • A integral externa é em x de 0 a 1.
  • O objetivo explícito é trocar a ordem de integração e calcular o valor numérico da integral dupla resultante.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A forma original corresponde a:
0 \le x \le 1,\qquad x \le y \le 1.
Isso significa que a região D é o triângulo fechado
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\},
isto é, a parte do quadrado [0,1]\times[0,1] acima da reta y=x. Visualize: para cada x entre 0 e 1 o y vai de y=x até y=1.

Passo 3

Queremos inverter a ordem de integração. Para isso descrevemos D trocando a ordem de variação:
  • Qual é o menor e maior valor de y na região? y varia de 0 até 1.
  • Para um y fixo (com 0<y\le 1), quais valores de x pertencem a D? Como 0\le x\le y, temos x variando de 0 até y.
Assim a descrição invertida da região é
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le y.
Observação sobre integrabilidade: a função e^{x/y} é não-negativa em D. Pelo Teorema de Tonelli (que permite trocar ordem para funções não-negativas), podemos trocar a ordem de integração sem problemas. (Intuitivamente: a única dificuldade teórica seria na linha y=0, mas o conjunto de pontos com y=0 tem medida zero e a função é bem comportada como integral imprópria; a justificativa via Tonelli evita complicações.)

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y}\, d y\right) d x = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y} e^{x / y}\, d x\right) d y.

Passo 5

Agora calculamos a integral interna em x:
\int_{0}^{y} e^{x / y}\, d x.
Para integrar e^{x / y} em relação a x usamos a substituição simples: seja u=\dfrac{x}{y}. Então d u=\dfrac{1}{y}\,d x, logo d x = y\, d u.
Quando x=0 temos u=0. Quando x=y temos u=1. Substituindo,
\int_{0}^{y} e^{x / y}\, d x = \int_{u=0}^{1} e^{u}\,(y\, d u) = y \int_{0}^{1} e^{u}\, d u.
A integral de e^{u} é e^{u}. Portanto
\int_{0}^{1} e^{u}\, d u = e^{1}-e^{0}=e-1.
Logo
\int_{0}^{y} e^{x / y}\, d x = y\,(e-1).

Passo 6

Substituímos o resultado na integral externa em y:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y} e^{x / y}\, d x\right) d y = \int_{0}^{1} y\,(e-1)\, d y.
Tirando a constante (e-1) para fora:
(e-1)\int_{0}^{1} y\, d y.
A integral de y de 0 a 1 é \dfrac{1}{2}, pois
\int_{0}^{1} y\, d y = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Portanto o valor total é
(e-1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}.

Resposta

\dfrac{e-1}{2}

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