Calcule as integrais abaino:
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função x(1+x^{3}) e os limites de integração são x=-1 (limite inferior) e x=2 (limite superior). A tarefa é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando para trabalhar term por termo. Multiplicando x por cada termo dentro do parêntese:
x(1+x^{3}) = x\cdot 1 + x\cdot x^{3} = x + x^{4}.
Agora a integral fica
\int_{-1}^{2} \bigl(x + x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos lembrar uma regra básica de integração (a “regra da potência”): para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula resulta de inverter a operação de derivação para potências. Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
Também usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra da potência a cada termo:
  • Para x temos x = x^{1}, então
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Para x^{4} temos
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^{5}}{5}.
Somando as duas primitivas obtemos uma antiderivada (primitiva) F(x):
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.

Passo 5

Para calcular a integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma antiderivada de f em um intervalo que contém os limites a e b, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Aqui f(x)=x+x^{4}, F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{5}}{5}, a=-1 e b=2.

Passo 6

Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{5}}{5}.
Compute passo a passo:
\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2, \qquad \frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Somando:
F(2)=2+\frac{32}{5}=\frac{10}{5}+\frac{32}{5}=\frac{42}{5}.

Passo 7

Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{5}}{5}.
Compute passo a passo:
\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{(-1)^{5}}{5}=\frac{-1}{5}.
Somando:
F(-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 8

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{2} x(1+x^{3})\,dx = F(2)-F(-1) = \frac{42}{5}-\frac{3}{10}.
Colocando no mesmo denominador 10:
\frac{42}{5}=\frac{84}{10},
então
\frac{84}{10}-\frac{3}{10}=\frac{81}{10}.
Em decimal isso é 8{,}1, mas manteremos a forma fracionária exata.

Resposta

\dfrac{81}{10}

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