Calcule as integrais abaixo
integral 1-sen(x)cos ^2(x) d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral
integral 1-sin(x)cos^2(x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando decomposição em frações simples e reconhecimento de derivadas usuais, em particular
ddxl(tan(x)r)=sec^2(x) e ddxl(sec(x)r)=sec(x),tan(x)

Passo 2

Separe a fração em duas integrais mais simples:
integral 1-sin(x)cos^2(x),dx = integral 1cos^2(x),dx ;-;integral sin(x)cos^2(x),dx

Passo 3

Calcule a primeira integral. Como sec^2(x)=1/cos^2(x) e sabemos que
ddxl(tan(x)r)=sec^2(x),
segue
integral 1cos^2(x),dx =integral sec^2(x),dx =tan(x)

Passo 4

Calcule a segunda integral. Note que
sin(x)cos^2(x) =sin(x)cos(x)cdot1cos(x) =tan(x),sec(x),
e como ddx(sec(x))=sec(x)tan(x), temos
integral sin(x)cos^2(x),dx =integral sec(x)tan(x),dx =sec(x)

Passo 5

Juntando os resultados das duas integrais e acrescentando a constante de integração C, obtemos
integral 1-sin(x)cos^2(x),dx =tan(x);-;sec(x);+;C

Resposta

tan(x)-sec(x)+C

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