Calcule as integrais abaixo
integral(x^2-3 x+4) cos (pi x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
integral (x^2 - 3x + 4)cos(pi x),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que precisaremos aplicar duas vezes.

Passo 2

Fazemos a primeira aplicação de integração por partes escolhendo
u = x^2 - 3x + 4, dv = cos(pi x),dx
Então
du = (2x - 3),dx, v = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)
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integral (x^2 - 3x + 4)cos(pi x),dx = x^2 - 3x + 4pisin(pi x) - 1piintegral (2x - 3)sin(pi x),dx

Passo 3

Agora calculamos
I = integral (2x - 3)sin(pi x),dx
por partes novamente, tomando
u2 = 2x - 3, dv2 = sin(pi x),dx
Então
du2 = 2,dx, v2 = integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x)
Assim
I = -(2x - 3)1picos(pi x) + 2piintegral cos(pi x),dx = -2x - 3picos(pi x) + 2pi^2sin(pi x)

Passo 4

Substituindo I na expressão do passo 2 e organizando os termos em sin(pi x) e cos(pi x), obtemos
integral (x^2 - 3x + 4)cos(pi x),dx = x^2 - 3x + 4pisin(pi x) - 1pil(-2x - 3picos(pi x) + 2pi^2sin(pi x)r) + C
= x^2 - 3x + 4pisin(pi x) + 2x - 3pi^2cos(pi x) - 2pi^3sin(pi x) + C
= l(pi^2(x^2 - 3x + 4)-2r),sin(pi x)pi^3 + 2x - 3pi^2cos(pi x) + C

Resposta

boxed integral (x^2 - 3x + 4)cos(pi x),dx = l(pi^2(x^2 - 3x + 4)-2r)sin(pi x)pi^3 + 2x - 3pi^2cos(pi x) + C

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