(i) Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada pelo arco da parábola y=H-(H / R^2) x^2 e o eixo x. H e R são constantes positivas. Faça um esboço da região no plano e do sólido de revolução no espaço. (ii) Observe que este sólido de revolução está inscrito em um cilindro de altura H e raio da base R. Qual a relação entre o volume do sólido e o volume daquele cilindro?

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada pela parábola
y = H - HR^2,x^2
e pelo eixo x (ou seja, onde y>=0). As constantes H>0 e R>0 são altura e “raio” da abertura da parábola. Para resolver usamos o método dos discos (fatias transversais perpendiculares ao eixo y).

Passo 2

Esboço qualitativo:
No plano xy, a parábola intercepta o eixo y em (0,H) e o eixo x em (pm R,0), formando uma região simétrica em torno de y. Ao girar essa região em torno de y, gera-se um paraboloide de revolução de altura H e raio máximo da base R.

Passo 3

Para montar o integral, expressamos o raio do disco em função de y. Da equação
y = H - HR^2,x^2
vem
x^2 = R^2l(1 - yHr),
logo o raio do disco em altura y é
r(y) = raizx^2 = R,raiz1 - yH
A área do disco é
A(y) = pil[r(y)r]^2 = pi,R^2l(1 - yHr)
Portanto o volume é
V = integraly=0^H A(y),dy = integral0^H pi,R^2l(1 - yHr),dy

Passo 4

Calculando a integral:
V = pi,R^2 integral0^Hl(1 - yHr),dy = pi,R^2gl[y - y^22Hgr]0^H = pi,R^2l(H - H2r) = 12,pi,R^2,H

Passo 5

Para comparar com o cilindro de mesma base e altura: o volume desse cilindro é
Vrm cil = pi,R^2,H
Logo o sólido de revolução tem exatamente metade do volume do cilindro inscrito:
V = 12,Vrm cil

Resposta

(i) V = tfrac12,pi,R^2,H
(ii) O volume do paraboloide é metade do volume do cilindro de raio R e altura H.

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