(i) Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada pelo arco da parábola
e o eixo x. H e R são constantes positivas. Faça um esboço da região no plano e do sólido de revolução no espaço. (ii) Observe que este sólido de revolução está inscrito em um cilindro de altura H e raio da base R. Qual a relação entre o volume do sólido e o volume daquele cilindro?
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região do plano limitada pela parábola
e pelo eixo
(ou seja, onde
). As constantes
e
são altura e “raio” da abertura da parábola. Para resolver usamos o método dos discos (fatias transversais perpendiculares ao eixo
).
Passo 2
Esboço qualitativo:
No plano , a parábola intercepta o eixo
em
e o eixo
em
, formando uma região simétrica em torno de
. Ao girar essa região em torno de
, gera-se um paraboloide de revolução de altura
e raio máximo da base
.
No plano
Passo 3
Para montar o integral, expressamos o raio do disco em função de
. Da equação
vem
logo o raio do disco em altura
é
A área do disco é
Portanto o volume é
Passo 4
Calculando a integral:
Passo 5
Para comparar com o cilindro de mesma base e altura: o volume desse cilindro é
Logo o sólido de revolução tem exatamente metade do volume do cilindro inscrito:
Resposta
(i)
(ii) O volume do paraboloide é metade do volume do cilindro de raio e altura
.
(ii) O volume do paraboloide é metade do volume do cilindro de raio