Determine e esboce o domínio e a imagem da função.
f(x, y)=raizx^2-y^2;

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=raizx^2-y^2
O conteúdo aqui é o conceito de domínio (onde a função está bem definida) e imagem (conjunto de valores que a função assume). Para resolver, vamos usar a condição de existência da raiz quadrada (radicando não negativo) e depois verificar quais valores de saída são possíveis.

Passo 2

Para que raizx^2-y^2 faça sentido em R, o radicando deve satisfazer
x^2-y^2>= 0
Isso equivale a
x^2>= y^2 Long<=ftrightarrow |x|>= |y|
Logo, o domínio D é
D=(x,y)inR^2:|x|>=|y|

Passo 3

O conjunto (x,y):|x|>=|y| corresponde à região do plano compreendida entre as retas y=x e y=-x, incluindo estas linhas, estendendo-se para a direita e para a esquerda. Em outras palavras, são dois “cones” fechados com vértice na origem, um voltado para x>0 e outro para x<0.

Passo 4

Para encontrar a imagem, note que a raiz quadrada toma sempre valores não negativos. Dado qualquer (x,y)in D,
f(x,y)=raizx^2-y^2>= 0
Além disso, para qualquer valor t>= 0 podemos escolher, por exemplo, (x,y)=(t,0)in D, de modo que
f(t,0)=raizt^2-0^2=t
Assim a função atinge todo valor não negativo.

Passo 5

Portanto a imagem I de f é o semieixo
I=[0,infty)
No esboço, representamos esta imagem como uma reta numérica começando em 0 (incluso) e estendendo-se até +infty.

Resposta

Domínio:
D=(x,y)inR^2:|x|>=|y|
Imagem:
I=[0,infty)

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