Determine e esboce o domínio e a imagem da função.
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Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
O conteúdo aqui é o conceito de domínio (onde a função está bem definida) e imagem (conjunto de valores que a função assume). Para resolver, vamos usar a condição de existência da raiz quadrada (radicando não negativo) e depois verificar quais valores de saída são possíveis.
Passo 2
Para que
faça sentido em
, o radicando deve satisfazer
Isso equivale a
Logo, o domínio
é
Passo 3
O conjunto
corresponde à região do plano compreendida entre as retas
e
, incluindo estas linhas, estendendo-se para a direita e para a esquerda. Em outras palavras, são dois “cones” fechados com vértice na origem, um voltado para
e outro para
.
Passo 4
Para encontrar a imagem, note que a raiz quadrada toma sempre valores não negativos. Dado qualquer
,
Além disso, para qualquer valor
podemos escolher, por exemplo,
, de modo que
Assim a função atinge todo valor não negativo.
Passo 5
Portanto a imagem
de
é o semieixo
No esboço, representamos esta imagem como uma reta numérica começando em
(incluso) e estendendo-se até
.
Resposta
Domínio:
Imagem: