Calcule as integrais abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que podemos usar nessa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
Nesse caso, precisamos escolher partes da nossa função para
e
. Vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, diferenciamos
e integramos
:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que a integral que apareceu no lado direito é a mesma que estamos tentando resolver. Vamos chamar essa integral de
:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral
é igual a
.