Calcule as integrais abaixo.
integral0^1 arctg x1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de arctan(x)1 + x^2 de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que podemos usar nessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, precisamos escolher partes da nossa função para u e dv . Vamos deixar:
u = arctan(x) e dv = 11 + x^2 , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v . Para isso, diferenciamos u e integramos dv :
du = ddx [arctan(x)] , dx = 11 + x^2 , dx
v = integral 11 + x^2 , dx = arctan(x)

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes com os valores que encontramos:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral arctan(x)1 + x^2 , dx = arctan(x) cdot arctan(x) - integral arctan(x) cdot 11 + x^2 , dx
Isso simplifica para:
integral arctan(x)1 + x^2 , dx = (arctan(x))^2 - integral (arctan(x))1 + x^2 , dx

Passo 5

Observamos que a integral que apareceu no lado direito é a mesma que estamos tentando resolver. Vamos chamar essa integral de I :
I = integral arctan(x)1 + x^2 , dx
Então, nossa equação fica:
I = (arctan(x))^2 - I

Passo 6

Agora, vamos resolver para I :
I + I = (arctan(x))^2
2I = (arctan(x))^2
I = (arctan(x))^22

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 arctan(x)1 + x^2 , dx = [ (arctan(x))^22 ]0^1
Calculando:
= (arctan(1))^22 - (arctan(0))^22
Sabemos que arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0 , então:
= (pi4)^22 - 0^22 = pi^232 - 0 = pi^232

Resposta

A integral integral0^1 arctan(x)1 + x^2 , dx é igual a pi^232.

Exercícios relacionados