Calcule a derivada das funções abaixo.
f(x)=x^2 arctg(2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x^2,arctan(2x)
Aqui vamos usar a regra do produto (para derivar x^2cdotarctan(2x)) e, dentro dela, a regra da cadeia (para derivar arctan(2x)).

Passo 2

Vamos separar em
u(x) = x^2, v(x) = arctan(2x)
Então
u'(x) = 2x
e, aplicando a regra da cadeia em v(x): se g(t)=arctan(t) então g'(t)=1/(1+t^2), com t=2x e t'=2. Logo
v'(x) = 11+(2x)^2cdot 2 = 21+4x^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo:
f'(x) = 2x;arctan(2x) + x^2;21+4x^2

Passo 4

Podemos deixar num formato mais enxuto, fatorando 2x:
f'(x) = 2xl[arctan(2x) + x1+4x^2r]

Resposta

f'(x) = 2x,arctan(2x) ;+;2x^21+4x^2
ou equivalentemente
f'(x) = 2xl[arctan(2x) + x1+4x^2r]

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