Calcule os limites abaixo, se existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este limite:
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no tópico de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam quando a variável
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções exponenciais perto de zero. Sabemos que para qualquer base
,
pode ser aproximado por:
Isso é útil porque, quando
é muito pequeno, os termos de ordem superior (como
) ficam desprezíveis.
Passo 3
Aplicando essa aproximação às duas funções no numerador:
Subtraindo essas duas expressões:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação de volta na expressão original do limite:
Os termos
no numerador e denominador cancelam, ficando:
Passo 5
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Portanto, o limite é igual a
.