Calcule os limites abaixo, se existirem.
lim x 0 2^x-3^xx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este limite: limx to 0 2^x - 3^xx. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no tópico de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam quando a variável x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções exponenciais perto de zero. Sabemos que para qualquer base a > 0, a^x pode ser aproximado por:
a^x approx 1 + x ln(a)
Isso é útil porque, quando x é muito pequeno, os termos de ordem superior (como x^2) ficam desprezíveis.

Passo 3

Aplicando essa aproximação às duas funções no numerador:
2^x approx 1 + x ln(2)
3^x approx 1 + x ln(3)
Subtraindo essas duas expressões:
2^x - 3^x approx (1 + x ln(2)) - (1 + x ln(3)) = x (ln(2) - ln(3))

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação de volta na expressão original do limite:
limx to 0 2^x - 3^xx approx limx to 0 x (ln(2) - ln(3))x
Os termos x no numerador e denominador cancelam, ficando:
ln(2) - ln(3)

Passo 5

Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
ln(2) - ln(3) = ln(23)
Portanto, o limite é igual a ln(23).

Resposta

ln(23)

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