Calcule as integrais abaixo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde
é a região formada por todos os pontos
que satisfazem
. Basicamente, estamos lidando com uma região anelar (como um anel) e precisamos calcular a integral de uma função que depende de
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que elas facilitam trabalhar com círculos e anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas
por coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a área diferencial
passa a ser
. E, claro,
, o que simplifica a nossa função integranda.
Passo 3
Vamos reescrever a integral usando coordenadas polares. A região
em coordenadas polares fica
, ou seja,
. E
varia de
a
para cobrir todo o círculo. Então, a integral fica:
Simplificando
para
, a integral fica:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral. O
se cancela, deixando apenas:
Isso significa que estamos apenas calculando a área da região
, que é um anel com raio interno 1 e externo 2.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Multiplicando os resultados das integrais internas e externas:
Resposta
O valor da integral é
.