Calcule as integrais abaixo
integral duplaB(x^2+y^2)^-1 / 2 d x d y, B=(x, y) ; 1 <= x^2+y^2 <= 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaB(x^2+y^2)^-1 / 2 d x d y, onde B é a região formada por todos os pontos (x, y) que satisfazem 1 <= x^2+y^2 <= 4. Basicamente, estamos lidando com uma região anelar (como um anel) e precisamos calcular a integral de uma função que depende de x^2 + y^2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que elas facilitam trabalhar com círculos e anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas (x, y) por coordenadas polares (r, theta). Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, a área diferencial dx , dy passa a ser r , dr , dtheta. E, claro, x^2 + y^2 = r^2, o que simplifica a nossa função integranda.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando coordenadas polares. A região B em coordenadas polares fica 1 <= r^2 <= 4, ou seja, 1 <= r <= 2. E theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo. Então, a integral fica:
integral0^2pi integral1^2 (r^2)^-1/2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando (r^2)^-1/2 para 1/r, a integral fica:
integral0^2pi integral1^2 1r cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão dentro da integral. O 1r cdot r se cancela, deixando apenas:
integral0^2pi integral1^2 1 , dr , dtheta
Isso significa que estamos apenas calculando a área da região B, que é um anel com raio interno 1 e externo 2.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral1^2 1 , dr = [r]1^2 = 2 - 1 = 1
Agora, a integral externa:
integral0^2pi 1 , dtheta = [theta]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi
Multiplicando os resultados das integrais internas e externas:
1 times 2pi = 2pi

Resposta

O valor da integral é 2pi.

Exercícios relacionados