Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas e integrais em coordenadas cartesianas, mas vamos precisar usar uma mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a região é uma elipse representada por . Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforme essa elipse em um círculo. Vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, a inequação da região fica:
Isso nos mostra que a nova região de integração em termos de e é um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Como u = 2x e v = 3y, temos:
x = u2 e y = v3
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 13
Então,
J = 12 & 0 0 & 13 = 12 times 13 - 0 times 0 = 16
Passo 5
Agora, substituímos as variáveis na integral original e ajustamos pelo jacobiano:
integral duplaB raiz4x^2+9y^2 , dx dy = integral duplau^2+v^2 <= 1 raizu^2 + v^2 times 16 , du dv
Passo 6
Para simplificar ainda mais, vamos usar coordenadas polares, onde u = r costheta e v = r sintheta. Nesse sistema, a integral se transforma em:
integral0^2pi integral0^1 r times 16 times r , dr dtheta = 16 integral0^2pi integral0^1 r^2 , dr dtheta
Passo 7
Calculando a integral interna em r:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
16 times 13 integral0^2pi dtheta = 118 times 2pi = pi9