Calcule as integrais abaixo
[\mathbf{3 p t}]
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{1+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{1+4x^{2}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{x^{2}}{1+4x^{2}} e os limites de integração são 0 e \tfrac{1}{2}. A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando para obter uma forma mais fácil de integrar à mão. Note que podemos manipular \dfrac{x^{2}}{1+4x^{2}} multiplicando e dividindo por 4:
\frac{x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}.
A ideia é expressar \dfrac{4x^{2}}{1+4x^{2}} como 1-\dfrac{1}{1+4x^{2}}, porque isso simplifica a integração.

Passo 3

Fazendo a decomposição mencionada:
\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{1+4x^{2}-1}{1+4x^{2}}=1-\frac{1}{1+4x^{2}}.
Portanto
\frac{x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{1+4x^{2}}\right).
Isso nos permite reescrever a integral original como soma (diferença) de integrais mais simples:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{1+4x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}\,dx - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 4

Colocando os fatores constantes para fora das integrais:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{1+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{1}{2}} dx - \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4x^{2}}\,dx.
A primeira integral é trivial:
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{4}\left[x\right]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.

Passo 5

Agora precisamos calcular
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4x^{2}}\,dx.
Usamos a antiderivada padrão da função \dfrac{1}{1+a^{2}x^{2}}: para a>0,
\int \frac{1}{1+a^{2}x^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan(ax)+C.
Aqui a=2 porque 1+4x^{2}=1+(2x)^{2}. Então
\int \frac{1}{1+4x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\arctan(2x)+C.
Portanto
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}\arctan(2x)\right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right).

Passo 6

Conhecendo valores básicos da função arco-tangente: \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0. Assim
\frac{1}{8}\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right)=\frac{1}{8}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{32}.
Lembre-se que esse termo deve ser subtraído da contribuição da primeira integral (veja Passo 4).

Passo 7

Juntando os resultados:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{1+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}-\frac{\pi}{32}.
Podemos também escrever com denominador comum 32:
\frac{1}{8}-\frac{\pi}{32}=\frac{4}{32}-\frac{\pi}{32}=\frac{4-\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{4-\pi}{32}

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