Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são
e
. A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando para obter uma forma mais fácil de integrar à mão. Note que podemos manipular
multiplicando e dividindo por
:
A ideia é expressar
como
, porque isso simplifica a integração.
Passo 3
Fazendo a decomposição mencionada:
Portanto
Isso nos permite reescrever a integral original como soma (diferença) de integrais mais simples:
Passo 4
Colocando os fatores constantes para fora das integrais:
A primeira integral é trivial:
Passo 5
Agora precisamos calcular
Usamos a antiderivada padrão da função
: para
,
Aqui
porque
. Então
Portanto
Passo 6
Conhecendo valores básicos da função arco-tangente:
e
. Assim
Lembre-se que esse termo deve ser subtraído da contribuição da primeira integral (veja Passo 4).
Passo 7
Juntando os resultados:
Podemos também escrever com denominador comum
: