Calcule as Integrais abaixo
integral0^pi / 8 sen 3 x cos 5 x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
integral0^pi/8sin(3x),cos(5x),dx
que pertence ao conteúdo de integrais de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade produto–soma para facilitar a solução.

Passo 2

Lembrando que, em trigonometria, a identidade produto–soma diz:
sin(A)cos(B)=12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Isso nos ajuda a transformar o produto de seno e cosseno em soma de senos.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao integrando, temos:
sin(3x)cos(5x)=12l[sin(3x+5x)+sin(3x-5x)r] =12l[sin(8x)-sin(2x)r]
Portanto,
integral0^pi/8sin(3x)cos(5x),dx =12integral0^pi/8l[sin(8x)-sin(2x)r]dx

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de cada termo usando integralsin(kx)dx=-tfrac1kcos(kx):
F(x)=12l[-18cos(8x)+12cos(2x)r] =-116cos(8x)+14cos(2x)

Passo 5

Fazendo a avaliação nos limites de 0 a pi/8:
Para x=pi/8:
-tfrac116cos(pi)+tfrac14cos(pi/4)=tfrac116+tfracraiz28.
Para x=0:
-tfrac116cos0+tfrac14cos0= -tfrac116+tfrac14=tfrac316.

Passo 6

Subtraindo e simplificando, obtemos
l(tfrac116+tfracraiz28r)-tfrac316 = -tfrac216+tfracraiz28 = -tfrac18+tfracraiz28 =raiz2-18

Resposta

dfracraiz2-18

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