Calcule as integrais abaixo:
b)

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla abaixo:
integral0^1 integraly^1 x^2sen(xy),dx,dy
O conteúdo é integração múltipla e vamos usar troca de ordem de integração e técnicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Para simplificar, vamos trocar a ordem de integração. A região de integração é
(x,y)mid 0<= y<= x<=1
Então a integral pode ser reescrita como
integralx=0^1 integraly=0^x x^2sen(xy),dy,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y. Temos
integral0^x sen(xy),dy
Fazendo a substituição u=xy, du=x,dy, obtemos
integral0^x sen(xy),dy = 1xintegralu=0^x^2 sen(u),du = 1xl[-cos(u)r]0^x^2 = 1-cos(x^2)x
Multiplicando por x^2 do integrando, a expressão interna vira
x^2cdot1-cos(x^2)x=xl(1-cos(x^2)r)

Passo 4

A integral em x fica então
integral0^1 xl(1-cos(x^2)r),dx = integral0^1 x,dx - integral0^1 xcos(x^2),dx

Passo 5

Calculamos cada parte. Para a primeira:
integral0^1 x,dx = l[x^22r]0^1 = 12
Para a segunda, usamos u=x^2, du=2x,dx:
integral0^1 xcos(x^2),dx = 12integral0^1 cos(u),du = 12l[sin(u)r]0^1 = sin(1)2
Logo a integral total é
1-sin(1)2
que simplifica para
.

Resposta

1-sin(1)2

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