Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=(x+y)^2(x-y)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que não existe o limite de f(x,y)=(x+y)^2(x-y)^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo usado será identificação de limites de funções de duas variáveis via caminhos diferentes, ou seja, via curvas y=mx.

Passo 2

Vamos parametrizar pelo caminho y=mx. Substituindo em f:
f(x,mx) =l(x+mxr)^2l(x-mxr)^2 =l(1+mr)^2 x^2l(1-mr)^2 x^2 =(1+m)^2(1-m)^2

Passo 3

Note que o valor de (1+m)^2(1-m)^2 depende de m. Então, ao aproximar (0,0) por retas com inclinações diferentes, obtemos limites distintos.
Escolhendo, por exemplo, m=2 temos
f(x,2x)=(1+2)^2(1-2)^2=91=9,
e, para m=-1,
f(x,-x)=(1-1)^2(1+1)^2=0

Passo 4

Como dois caminhos dão resultados diferentes ( 9 e 0), o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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