Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=raizx^2+y^2+z^2+w^2, com x=3 t, y=-5 t, z=t e w=-t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dv/dt usando a regra da cadeia, onde v=raizx^2+y^2+z^2+w^2 e cada uma das variáveis x,y,z,w é função de t: x=3t, y=-5t, z=t, w=-t. O conteúdo é diferenciação de função de várias variáveis via regra da cadeia.

Passo 2

Para funções de várias variáveis, a regra da cadeia diz que
dvdt=partial vpartial xdxdt+partial vpartial ydydt+partial vpartial zdzdt+partial vpartial wdwdt

Passo 3

Como v=raizx^2+y^2+z^2+w^2, calculamos as derivadas parciais:
partial vpartial x=xraizx^2+y^2+z^2+w^2, partial vpartial y=yraizx^2+y^2+z^2+w^2, partial vpartial z=zraizx^2+y^2+z^2+w^2, partial vpartial w=wraizx^2+y^2+z^2+w^2

Passo 4

Derivando cada variável em relação a t, temos:
dxdt=3, dydt=-5, dzdt=1, dwdt=-1

Passo 5

Substituindo tudo na regra da cadeia e usando x=3t,y=-5t,z=t,w=-t:
dvdt=xcdot3+ycdot(-5)+zcdot1+wcdot(-1)raizx^2+y^2+z^2+w^2 =9t+25t+t+traiz36t^2 =36t6|t| =6t|t|

Passo 6

Isso mostra que dv/dt=6 para t>0 (e -6 para t<0).

Resposta

dvdt=6t|t|, portanto, para t>0, dv/dt=6.

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