Esboce o gráfico das função:
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da superfície de nível definido por f(x,y)=3−√(x²+y²). O conteúdo aqui é geometria analítica de superfícies em R³, e vamos usar coordenadas polares (r,θ) para entender a forma.
Passo 2
Vamos passar para coordenadas polares. Definindo r=√(x²+y²), temos z=f(x,y)=3−r. Isso mostra que para cada r fixo a altura z é 3−r.
Passo 3
Para um valor de r constante (=r₀), os pontos (x,y) formam uma circunferência de raio r₀ no plano xy, e a altura dessas circunferências é z=3−r₀. Ou seja, níveis de r crescentes correspondem a circunferências mais largas e mais baixas.
Conforme r varia de 0 até ∞, z varia de 3 até −∞ de forma linear. No caso r=0 temos o vértice da superfície em (0,0,3). Para r=3 temos z=0 e uma circunferência de raio 3 no plano z=0. Para r>3 o cone continua para baixo indefinidamente.
Conforme r varia de 0 até ∞, z varia de 3 até −∞ de forma linear. No caso r=0 temos o vértice da superfície em (0,0,3). Para r=3 temos z=0 e uma circunferência de raio 3 no plano z=0. Para r>3 o cone continua para baixo indefinidamente.
Passo 4
Portanto, o gráfico é um cone circular reto invertido, com vértice em (0,0,3) e abertura de 45°, estendendo-se indefinidamente para baixo.
Resposta
Surface is a right circular cone with apex at (0,0,3) opening downward with slope 1 (45°), given by z=3−√(x²+y²).