Calcule as integrais abaixo:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
b)
.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais múltiplas, integrando passo a passo na ordem
, depois
e por fim
.
Passo 2
Primeiro, integramos em relação a
, tratando
como constante. Temos
[
\int_{x=z}^{y+z} z,dx = z\bigl[(y+z) - z\bigr] = zy.
\int_{x=z}^{y+z} z,dx = z\bigl[(y+z) - z\bigr] = zy.
Passo 3
Em seguida, integramos
em relação a
, com limites de
a
:
[
\int_{z=1+y}^{2y} zy,dz = y \int_{1+y}^{2y} z,dz = y \left[\frac{z2}{2}\right]_{1+y}{2y} = y\frac{(2y)^2 - (1+y)^2}{2} = \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2}.
\int_{z=1+y}^{2y} zy,dz = y \int_{1+y}^{2y} z,dz = y \left[\frac{z2}{2}\right]_{1+y}{2y} = y\frac{(2y)^2 - (1+y)^2}{2} = \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2}.
Passo 4
Por fim, integramos em
de 0 a 1:
[
\int_{0}^{1} \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2},dy = \frac{1}{2}\left[\frac{3y^4}{4} - \frac{2y^3}{3} - \frac{y2}{2}\right]_{0}{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}\Bigr) = -\frac{5}{24}.
\int_{0}^{1} \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2},dy = \frac{1}{2}\left[\frac{3y^4}{4} - \frac{2y^3}{3} - \frac{y2}{2}\right]_{0}{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}\Bigr) = -\frac{5}{24}.
Passo 5
Então o valor final da integral é negativo, porque o limite inferior em
é maior que o superior para quase todo
.
Resposta
-5/24