Calcule as integrais abaixo:
b) integral0^1 integral1+y^2 y integralz^y+z z d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
b) integraly=0^1integralz=1+y^2yintegralx=z^y+z z,dx,dz,dy.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais múltiplas, integrando passo a passo na ordem x, depois z e por fim y.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a x, tratando z como constante. Temos
[
\int_{x=z}^{y+z} z,dx = z\bigl[(y+z) - z\bigr] = zy.

Passo 3

Em seguida, integramos zy em relação a z, com limites de z=1+y a z=2y:
[
\int_{z=1+y}^{2y} zy,dz = y \int_{1+y}^{2y} z,dz = y \left[\frac{z2}{2}\right]_{1+y}{2y} = y\frac{(2y)^2 - (1+y)^2}{2} = \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2}.

Passo 4

Por fim, integramos em y de 0 a 1:
[
\int_{0}^{1} \frac{3y^3 - 2y^2 - y}{2},dy = \frac{1}{2}\left[\frac{3y^4}{4} - \frac{2y^3}{3} - \frac{y2}{2}\right]_{0}{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}\Bigr) = -\frac{5}{24}.

Passo 5

Então o valor final da integral é negativo, porque o limite inferior em z é maior que o superior para quase todo y.

Resposta

-5/24

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