Resolva o problema
y^prime prime-y=-20 de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com impulso de Dirac em t=3, isto é:
y'' - y = -20,de
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e resposta ao impulso do operador D^2-1.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea y''-y=0. As raízes da equação característica r^2-1=0 são r=pm1, logo temos
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t

Passo 3

Para incorporar o impulso em t=3, usamos a resposta ao impulso (Green’s function) do operador L[y]=y''-y. Em Laplace, 1/(s^2-1) inverte para sinh(t)H(t). Assim, a parte particular é
yp(t) = (-20),sinhl(t-3r),H(t-3)

Passo 4

A solução completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t -20,sinhl(t-3r)H(t-3)
Para 0<= t<3 temos yp=0, logo y(t)=C1 e^t+C2 e^-t. Aplicando as condições iniciais:
y(0)=C1+C2=1, y'(0)=C1-C2=0
resulta em C1=C2=tfrac12, ou seja y(t)=cosh(t) antes de t=3.

Passo 5

Para t>=3 somamos a parte particular. Assim,
y(t)=cosh(t)-20,sinh(t-3), t>=3

Resposta

A solução é dada de forma por partes:
y(t)= cosh(t), & 0<= t<3, cosh(t)-20,sinh(t-3), & t>=3

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