Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 10 e a sua constante de mola é . A mola é liberada a partir do repouso em um ponto acima da sua posição de equilíbrio. Determine o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um sistema massa-mola amortecido, que envolve conceitos de movimento harmônico amortecido. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial que descreve o movimento da mola com amortecimento e aplicar as condições iniciais fornecidas no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento da mola amortecida. A equação geral para um sistema massa-mola com amortecimento é:
Onde:
é a massa (1 kg),
é a constante de amortecimento (10),
é a constante da mola (100),
é a posição em função do tempo.
Passo 3
Vamos substituir os valores dados na equação:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, assumimos soluções do tipo . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:
Como , temos raízes complexas, indicando um movimento subamortecido (oscilações com decaimento).
Passo 6
As raízes são:
Podemos escrever a solução geral como:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Sabemos que a mola é liberada a partir do repouso em m. Ou seja:
(pois está em repouso)
Aplicando na solução geral:
Passo 8
Agora, derivamos dxdt = e^-5t ( -5A cos(5raiz3 t) - 5B sin(5raiz3 t) ) + e^-5t ( -A 5raiz3 sin(5raiz3 t) + B 5raiz3 cos(5raiz3 t) ) para aplicar a segunda condição:
0 = (-5A) + (5raiz3 B)
Aplicando 0 = -5 cdot 0,85 + 5raiz3 B Rightarrow 5raiz3 B = 4,25 Rightarrow B = 4,255raiz3 = 0,85raiz3 approx 0,491 e a condição :
Substituindo :
Passo 9
Agora que temos x(t) = e^-5t ( 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) ) e , a solução completa fica:
Passo 10
Queremos encontrar o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio ( 0 = e^-5t ( 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) ) ) indo para cima. Isso ocorre quando 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) = 0 e 0,85 + 0,491 tan(5raiz3 t) = 0 Rightarrow tan(5raiz3 t) = -0,850,491 approx -1,731 .
Primeiro, encontramos os instantes em que 5raiz3 t = arctan(-1,731) + npi (n in Z) :
5raiz3 t = -pi3 + npi
Como t = -pi3 + npi5raiz3 = (n - 13)pi5raiz3 , temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então:
Calculando radianos.
Portanto:
Simplificando para :
Passo 11
Queremos o segundo instante positivo. Vamos considerar t1 = (1 - 13)pi5raiz3 = 23pi5raiz3 = 2pi15raiz3 approx 0,24 , s e t2 = (2 - 13)pi5raiz3 = 53pi5raiz3 = pi3raiz3 approx 0,60 , s :
Para :
Para :
Passo 12
Agora, precisamos verificar em qual desses instantes a mola está passando pela posição de equilíbrio indo para cima. Isso acontece quando a derivada .
Calculando em :
Como o movimento é subamortecido e a função senoidal está crescendo após , concluímos que no segundo instante , a mola está passando pela posição de equilíbrio indo para cima.
Resposta
O segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é aproximadamente 0,60 segundos.