Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 10 e a sua constante de mola é k=100. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,85 m acima da sua posição de equilíbrio. Determine o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um sistema massa-mola amortecido, que envolve conceitos de movimento harmônico amortecido. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial que descreve o movimento da mola com amortecimento e aplicar as condições iniciais fornecidas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento da mola amortecida. A equação geral para um sistema massa-mola com amortecimento é:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Onde:
  • é a massa (1 kg),
  • é a constante de amortecimento (10),
  • é a constante da mola (100),
  • é a posição em função do tempo.

Passo 3

Vamos substituir os valores dados na equação:
1 cdot d^2xdt^2 + 10 cdot dxdt + 100x = 0
Simplificando:
d^2xdt^2 + 10dxdt + 100x = 0

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, assumimos soluções do tipo r^2 + 10r + 100 = 0 . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:
Como , temos raízes complexas, indicando um movimento subamortecido (oscilações com decaimento).

Passo 6

As raízes são:
r = -10 pm raiz-3002 = -5 pm i raiz3002 = -5 pm i 5raiz3
Podemos escrever a solução geral como:
x(t) = e^-5t ( A cos(5raiz3 t) + B sin(5raiz3 t) )

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes 0,85 = e^0 (A cdot 1 + B cdot 0) Rightarrow A = 0,85 e .
Sabemos que a mola é liberada a partir do repouso em m. Ou seja:
  1. (pois está em repouso)
Aplicando na solução geral:

Passo 8

Agora, derivamos dxdt = e^-5t ( -5A cos(5raiz3 t) - 5B sin(5raiz3 t) ) + e^-5t ( -A 5raiz3 sin(5raiz3 t) + B 5raiz3 cos(5raiz3 t) ) para aplicar a segunda condição:
0 = (-5A) + (5raiz3 B)
Aplicando 0 = -5 cdot 0,85 + 5raiz3 B Rightarrow 5raiz3 B = 4,25 Rightarrow B = 4,255raiz3 = 0,85raiz3 approx 0,491 e a condição :
Substituindo :

Passo 9

Agora que temos x(t) = e^-5t ( 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) ) e , a solução completa fica:

Passo 10

Queremos encontrar o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio ( 0 = e^-5t ( 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) ) ) indo para cima. Isso ocorre quando 0,85 cos(5raiz3 t) + 0,491 sin(5raiz3 t) = 0 e 0,85 + 0,491 tan(5raiz3 t) = 0 Rightarrow tan(5raiz3 t) = -0,850,491 approx -1,731 .
Primeiro, encontramos os instantes em que 5raiz3 t = arctan(-1,731) + npi (n in Z) :
5raiz3 t = -pi3 + npi
Como t = -pi3 + npi5raiz3 = (n - 13)pi5raiz3 , temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então:
Calculando radianos.
Portanto:
Simplificando para :

Passo 11

Queremos o segundo instante positivo. Vamos considerar t1 = (1 - 13)pi5raiz3 = 23pi5raiz3 = 2pi15raiz3 approx 0,24 , s e t2 = (2 - 13)pi5raiz3 = 53pi5raiz3 = pi3raiz3 approx 0,60 , s :
Para :
Para :

Passo 12

Agora, precisamos verificar em qual desses instantes a mola está passando pela posição de equilíbrio indo para cima. Isso acontece quando a derivada .
Calculando em :
Como o movimento é subamortecido e a função senoidal está crescendo após , concluímos que no segundo instante , a mola está passando pela posição de equilíbrio indo para cima.

Resposta

O segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é aproximadamente 0,60 segundos.

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