Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. e) integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla de e^-x^2 - y^2 sobre a região D, que é o semicírculo de raio 2 no semiplano x >= 0. O conteúdo aqui é mudança de variável para coordenadas polares, onde usamos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, o integrando e o elemento de área ficam dependentes apenas de r. Escrevemos:
e^-x^2 - y^2,dA = e^-r^2,(r,dr,dtheta)

Passo 3

Agora precisamos determinar os limites de integração. A região D é o semicírculo de raio 2 no semiplano x >= 0, ou seja, r vai de 0 até 2 e theta vai de -tfracpi2 (eixo y negativo) até +tfracpi2 (eixo y positivo). A integral em coordenadas polares fica então:
integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Vamos primeiro calcular a integral interna em r. Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r,dr e r,dr = tfrac12,du. Assim:
integral0^2 r e^-r^2 dr = 12 integral0^4 e^-u du = 12 l[-e^-ur]0^4 = 12(1 - e^-4)

Passo 5

Agora a integral em theta é trivial, pois o resultado acima não depende de theta. O intervalo de -pi/2 a pi/2 tem comprimento pi, então:
integral-pi/2^pi/2 1 - e^-42,dtheta = 1 - e^-42 cdot pi = pi2(1 - e^-4)

Resposta

pi2l(1 - e^-4r)

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