Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. e)
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o semicírculo de raio 2 no semiplano
. O conteúdo aqui é mudança de variável para coordenadas polares, onde usamos
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares, o integrando e o elemento de área ficam dependentes apenas de
. Escrevemos:
Passo 3
Agora precisamos determinar os limites de integração. A região
é o semicírculo de raio 2 no semiplano
, ou seja,
vai de 0 até 2 e
vai de
(eixo
negativo) até
(eixo
positivo). A integral em coordenadas polares fica então:
Passo 4
Vamos primeiro calcular a integral interna em
. Fazendo a substituição
, temos
e
. Assim:
Passo 5
Agora a integral em
é trivial, pois o resultado acima não depende de
. O intervalo de
a
tem comprimento
, então: