Questão 4 - Utilizando o conceito de série de Maclaurin calcule a integral indefinida e determine o raio de convergencia da série resultante.
integral x cos (x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de $ x \cos(x^3) , dx $ usando a série de Maclaurin. Além disso, vamos determinar o raio de convergência da série que resultará dessa integração. Para isso, vamos precisar saber como expandir a função cosseno em série de Maclaurin e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para o cosseno. A série de Maclaurin de uma função é uma expansão em série em torno de $ x = 0 $. Para o cosseno, a série é:
x = 0
Aqui, $ t $ é a variável dentro da função cosseno. No nosso caso, temos $ \cos(x^3) $, então vamos substituir $ t $ por $ x^3 $:
cos(t) = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)!

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série pelo $ x $ que está na integral:
x
Então, a integral que queremos calcular fica:
x cos(x^3) = x sumn=0^infty (-1)^n x^6n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n + 1(2n)!

Passo 4

A legalidade de trocar a integral pela soma é garantida pelo teorema da convergência uniforme das séries de potências dentro do intervalo de convergência. Assim, podemos integrar termo a termo:
integral sumn=0^infty (-1)^n x^6n + 1(2n)! , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! integral x^6n + 1 , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo $ x^{6n + 1} $:
x^6n + 1
Então, a integral completa fica:
integral x^6n + 1 , dx = x^6n + 26n + 2 + C

Passo 6

Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série resultante. Sabemos que a série de Maclaurin do cosseno tem raio de convergência infinito. Quando multiplicamos por $ x $ e integramos termo a termo, o raio de convergência não é afetado nessas operações. Portanto, o raio de convergência da nossa série integrada também é infinito.

Resposta

A integral indefinida é
integral x cos(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^6n + 2(6n + 2)(2n)! + C
e o raio de convergência da série resultante é infinito.

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