Questão 4 - Utilizando o conceito de série de Maclaurin calcule a integral indefinida e determine o raio de convergencia da série resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de $ x \cos(x^3) , dx $ usando a série de Maclaurin. Além disso, vamos determinar o raio de convergência da série que resultará dessa integração. Para isso, vamos precisar saber como expandir a função cosseno em série de Maclaurin e como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para o cosseno. A série de Maclaurin de uma função é uma expansão em série em torno de $ x = 0 $. Para o cosseno, a série é:
Aqui, $ t $ é a variável dentro da função cosseno. No nosso caso, temos $ \cos(x^3) $, então vamos substituir $ t $ por $ x^3 $:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série pelo $ x $ que está na integral:
Então, a integral que queremos calcular fica:
Passo 4
A legalidade de trocar a integral pela soma é garantida pelo teorema da convergência uniforme das séries de potências dentro do intervalo de convergência. Assim, podemos integrar termo a termo:
Passo 5
Vamos integrar cada termo $ x^{6n + 1} $:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série resultante. Sabemos que a série de Maclaurin do cosseno tem raio de convergência infinito. Quando multiplicamos por $ x $ e integramos termo a termo, o raio de convergência não é afetado nessas operações. Portanto, o raio de convergência da nossa série integrada também é infinito.
Resposta
A integral indefinida é
e o raio de convergência da série resultante é infinito.