Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: j)
Passo 1
Resumo do enunciado: vamos calcular as integrais iteradas nos itens j), k) e l) e esboçar as regiões definidas pelos limites. O conteúdo envolve integração de polinômios, troca de ordem de integração e substituições trigonométricas.
Passo 2
Em j), a região é dada por . Esboce um triângulo com vértices em , e . Vamos então calcular a integral interna .
Passo 3
Calculando a integral interna em j): como , temos
Passo 4
Como envolve , separamos em dois trechos:
Para : .
Para : .
Integrando cada parte obtemos
Passo 5
Somando as duas partes em j) concluímos que a integral vale .
Passo 6
Em k), a região é . Esboce a região limitada por , , e . Para trocar a ordem, note que para temos (pois ).
Passo 7
Trocando a ordem em k) a integral fica
Com a substituição , , obtemos
Passo 8
Em l), a região é . Esboce o domínio entre , , e . Ao trocar a ordem, para temos .
Passo 9
Trocando a ordem e integrando em em l) dá
Fazendo , , resulta
Resposta
Nos três casos, os valores são j) tfrac23, k) e^4-1 e l) 4raiz2-15.