Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: j) integral-1^1 integral|y|^1(x+y)^2 d x d y k) integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 d x d y l) integral0^1 integralarctg y^pi / 4 sec ^5 x d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos calcular as integrais iteradas nos itens j), k) e l) e esboçar as regiões definidas pelos limites. O conteúdo envolve integração de polinômios, troca de ordem de integração e substituições trigonométricas.

Passo 2

Em j), a região é dada por (x,y)mid -1<= y<=1,;|y|<= x<=1. Esboce um triângulo com vértices em (1,-1), (1,1) e (0,0). Vamos então calcular a integral interna integral|y|^1 (x+y)^2,dx.

Passo 3

Calculando a integral interna em j): como (x+y)^2= x^2+2xy+y^2, temos
F(y)=integral|y|^1(x^2+2xy+y^2),dx=13+y+y^2-l(|y|^33+y^3+y^2|y|r)

Passo 4

Como F(y) envolve |y|, separamos em dois trechos:
  • Para yin[0,1]: F(y)=tfrac13+y+y^2-tfrac7y^33.
  • Para yin[-1,0]: F(y)=tfrac13+y+y^2+tfracy^33.
    Integrando cada parte obtemos
integral0^1F(y),dy=7/12, integral-1^0F(y),dy=1/12

Passo 5

Somando as duas partes em j) concluímos que a integral vale 7/12+1/12=2/3.

Passo 6

Em k), a região é (x,y)mid0<= y<=4,;y/2<= x<=2. Esboce a região limitada por y=0, y=4, x=y/2 e x=2. Para trocar a ordem, note que para xin[0,2] temos 0<= y<=2x (pois 2x<=4).

Passo 7

Trocando a ordem em k) a integral fica
integralx=0^2integraly=0^2xe^x^2,dy,dx=integral0^2 2x e^x^2,dx
Com a substituição u=x^2, du=2x,dx, obtemos
integral0^4e^u,du=e^4-1

Passo 8

Em l), a região é (x,y)mid0<= y<=1,;arctan y<= x<=pi/4. Esboce o domínio entre x=arctan y, x=pi/4, y=0 e y=1. Ao trocar a ordem, para xin[0,pi/4] temos 0<= y<=tan x.

Passo 9

Trocando a ordem e integrando em y em l) dá
integralx=0^pi/4integraly=0^tan xsec^5x,dy,dx=integral0^pi/4tan xsec^5x,dx
Fazendo u=sec x, du=sec xtan x,dx, resulta
integralu=1^raiz2u^4,du=u^55|1^raiz2=4raiz2-15

Resposta

Nos três casos, os valores são j) tfrac23, k) e^4-1 e l) 4raiz2-15.

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