Calcule as integrais abaixo:
d) integral0^3 integral0^9-x^2 x e^3 y9-y d y d x

Passo 1

A integral que temos é integral0^3integral0^9-x^2x,e^3y9-y,dy,dx. O conteúdo aqui é integral dupla e vamos usar troca de ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

A região de integração D no plano (x,y) é dada por
0<= x<= 3, 0<= y<= 9 - x^2
Para trocar a ordem, notamos que para cada y entre 0 e 9, x varia de 0 até raiz9-y. Logo podemos descrever
0<= y<= 9, 0<= x<= raiz9-y

Passo 3

Invertendo a ordem, a integral vira
I = integraly=0^9integralx=0^raiz9-yx,e^3y9-y,dx,dy
Aqui e^3y/(9-y) é constante em relação a x, então podemos separar.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integral0^raiz9-y x,dx = l[x^22r]0^raiz9-y = 9-y2
Substituindo de volta, ficamos com
I = integral0^9 9-y2cdote^3y9-y,dy = 12integral0^9 e^3y,dy

Passo 5

Agora basta integrar em y:
12integral0^9 e^3y,dy = 12l[e^3y3r]0^9 = 16l(e^27-1r)

Resposta

e^27-16

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