Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de ordem um da função f(x,y)=e^(x^2+y^2)+cos(xy)+x^3-5y^3+10 no ponto (0,0). O conteúdo é derivada parcial de funções de duas variáveis e vamos usar regra da cadeia e derivada de cos.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x(x,y) aplicamos: a derivada de e^(x^2+y^2) em relação a x é 2x,e^(x^2+y^2) pela regra da cadeia; a derivada de cos(xy) é -sin(xy) vezes a derivada interna y; e de x^3 é 3x^2. Assim,
partial fpartial x(x,y)=2x,e^(x^2+y^2)-y,sin(xy)+3x^2

Passo 3

Avaliar em (0,0): todos os termos têm fator x ou y, logo
partial fpartial x(0,0)=2cdot0cdot e^0-0cdotsin0+3cdot0^2=0

Passo 4

Para partial fpartial y(x,y), a derivada de e^(x^2+y^2) em relação a y é 2y,e^(x^2+y^2); de cos(xy) é -sin(xy) vezes a derivada interna x; e de -5y^3 é -15y^2). Então
partial fpartial y(x,y)=2y,e^(x^2+y^2)-x,sin(xy)-15y^2

Passo 5

Em (0,0) todos os termos também se anulam, daí
partial fpartial y(0,0)=2cdot0cdot e^0-0cdotsin0-15cdot0^2=0

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.

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