Calcule as integrais abaixo, explicitando todos os passos da sua solução:
integral sen^2(4 x) cos ^5(4 x) d x
(2,5 pontos)

Passo 1

Neste exercício temos a integral integral sin^2(4x)cos^5(4x),dx. O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar identidade trigonométrica e substituição para resolver.

Passo 2

Como a potência de cos é ímpar, isolamos um fator cos(4x) e aplicamos a identidade cos^2(4x)=1-sin^2(4x), obtendo
cos^5(4x)=(1-sin^2(4x))^2cos(4x)
Fazemos a substituição u=sin(4x), de modo que du=4cos(4x),dx e, portanto, cos(4x),dx=tfracdu4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u temos
integral sin^2(4x)cos^5(4x),dx=integral u^2(1-u^2)^2,du4
Expandimos o integrando:
$$
u{2}(1-u{2}){2}=u{2}-2u{4}+u{6}, u^2(1-u^2)^2=u^2-2u^4+u^6,á\frac{1}{4}\int (u{2}-2u{4}+u^{6}),du.$$
Integrando termo a termo obtemos
14integral (u^2-2u^4+u^6),du
Por fim, substituímos de volta 14l(u^33-2u^55+u^77r)+C para expressar o resultado em u=sin(4x).

Resposta

sin^3(4x)12-sin^5(4x)10+sin^7(4x)28+C

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