Calcule as integrais abaixo, explicitando todos os passos da sua solução:
integralraiz3^infty 3u^2+9 d u
(2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integralraiz3^infty 3u^2+9 , du. Esse problema envolve cálculo de integrais definidas, especificamente de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração que utiliza a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da função que estamos integrando: 3u^2+9. Essa expressão se parece com a forma padrão 1u^2+a^2, cuja integral é conhecida.

Passo 3

Sabemos que:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
onde C é a constante de integração. No nosso caso, a^2 = 9, então a = 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa integral:
integral 3u^2+9 , du = 3 cdot integral duu^2 + 9 = 3 cdot ( 13 arctan(u3) ) + C = arctan(u3) + C

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de raiz3 até infty:
integralraiz3^infty 3u^2+9 , du = [ arctan(u3) ]raiz3^infty

Passo 6

Precisamos avaliar o limite quando u tende ao infinito:
limu to infty arctan(u3) = pi2
E para u = raiz3:
arctan(raiz33) = arctan(1raiz3) = pi6

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
pi2 - pi6 = 3pi6 - pi6 = 2pi6 = pi3

Resposta

O valor da integral é dfracpi3.

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