Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas do pontos P(raiz10, pi4, pi3) dado em coordenadas esféricas. Faça todos os cálculos necessários.

Passo 1

O ponto P está em coordenadas esféricas (rho,varphi,theta)=(raiz10,pi/4,pi/3). O conteúdo é conversão de coordenadas esféricas para cartesianas e depois para cilíndricas. Vamos precisar das fórmulas de transformação:
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi
e, para coordenadas cilíndricas, de
r=raizx^2+y^2=rhosinvarphi, theta=theta, z=z

Passo 2

Para calcular as coordenadas cartesianas, primeiro encontramos os valores trigonométricos:
sin(pi/4)=raiz22,;cos(pi/4)=raiz22,;cos(pi/3)=tfrac12,;sin(pi/3)=tfracraiz32
Substituindo em
x=raiz10cdotraiz22cdot12, y=raiz10cdotraiz22cdotraiz32, z=raiz10cdotraiz22,

Passo 3

Simplificando cada coordenada, temos:
x=raiz10,raiz24=2raiz54=raiz52,
y=raiz10,raiz64=2raiz154=raiz152,
$$z=\frac{\sqrt{10},\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.
$$

Passo 4

Agora, para as coordenadas cilíndricas, usamos r=rhosinvarphi, mantendo theta=pi/3 e z=raiz5. Como rhosinvarphi=raiz10cdotraiz22=raiz202=raiz5, obtemos:

Resposta

Coordenadas cartesianas: l(x,y,zr)=l(tfracraiz52,tfracraiz152,raiz5r);
Coordenadas cilíndricas: l(r,theta,zr)=l(raiz5,,tfracpi3,,raiz5r).

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