Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
r^{\prime} y+4 r^{2} y=e^{-1}, \quad y(-1)=0, \quad t<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
r' \,y \;+\;4\,r^{2}\,y \;=\;e^{-1},
com condição inicial y(-1)=0 para t<0.
Porém não está claro quais são as variáveis independentes e dependentes: trata-se de uma equação para y(t) com coeficientes envolvendo uma função r(t)? Ou é uma equação para r(t) com coeficientes envolvendo y(t)? Também não é especificado como r e y se relacionam.

Passo 2

Se interpretássemos literalmente como produto de funções—isto é,
r'(t)\,y(t) + 4\,[r(t)]^2\,y(t) = e^{-1},
então, ao aplicar a condição y(-1)=0, o termo à esquerda em t=-1 fica
r'(-1)\cdot y(-1) + 4\,[r(-1)]^2\cdot y(-1) = r'(-1)\cdot 0 + 4\,[r(-1)]^2\cdot 0 = 0,
enquanto o lado direito é e^{-1}\neq0. Isso gera a contradição
0 = e^{-1}.

Passo 3

Como a condição inicial leva a um absurdo, e o enunciado não define claramente se estamos resolvendo para r(t) ou para y(t), não há como obter uma solução válida sem informação adicional.

Resposta

Não é possível resolver: o enunciado carece de definição clara de variáveis e conduz a contradição com a condição inicial.

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