Calcule as integrais abaixo, indicando a técnica de integração utilizada.
integral tg x sec ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tan x,sec^5 x,dx. Estamos em um tópico de integração por substituição e vamos precisar usar a relação ddx(sec x)=sec xtan x.

Passo 2

Note que dentro da integral temos o fator sec xtan x,dx, que é exatamente a derivada de sec x. Isso sugere usar a técnica de substituição.
Definimos u=sec x. Então
du=ddx(sec x),dx=sec xtan x,dx

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
integral tan x,sec^5 x,dx=integral sec^4 x,(sec xtan x,dx)=integral u^4,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
integral u^4,du=u^55+C

Passo 5

Voltando para a variável x, usamos u=sec x, logo, a resposta é:
integral tan x,sec^5 x,dx = sec^5 x5+C

Resposta

sec^5 x5+C

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