Considere funções de duas variáveis reais a valores reais. Então é Verdadeiro ou falso?
Sejam f: D subset R^wed>= 2 R, R D uma curva definida por y(t)=f((x 0, y 0)+t(cos (alpha), sin (alpha))). Se, para qualquer escolha de alpha, a curva y é contínua em t=0, então f é contínua em ( x 0, y 0 ).

Passo 1

A questão quer saber se, para uma função f:D⊂ℝ²→ℝ, o fato de todas as restrições de f a retas que passam por (x₀,y₀) serem contínuas em t=0 (isto é, y(t)=f((x₀,y₀)+t(cosα,sinα)) contínua em t=0 para todo α) implica que f é contínua em (x₀,y₀). O conteúdo aqui é continuidade em ℝⁿ e continuidade por composição com curvas.
Continuar recordando que f é contínua em (x₀,y₀) se, para qualquer caminho genérico (x(t),y(t))→(x₀,y₀), temos f(x(t),y(t))→f(x₀,y₀). A hipótese só garante isso quando o caminho é uma reta de direção (cosα,sinα).

Passo 2

Para mostrar que a hipótese não é suficiente, vamos construir um contraexemplo clássico. Definimos f:ℝ²→ℝ por f(0,0)=0 e, para (x,y)≠(0,0),
Apresentamos f(x,y) em bloco:
f(x,y)=x^2,yx^4+y^2

Passo 3

Agora verificamos que, ao longo de qualquer reta parametrizada por (x,y)=(t\cosα,t\sinα), temos
f(tcosα,tsinα)=(tcosα)^2,(tsinα)(tcosα)^4+(tsinα)^2=t^3cos^2αsinαt^2(t^2cos^4α+sin^2α)to0(tto0)

Passo 4

Ou seja, cada curva y(t)=f((0,0)+t(cosα,sinα)) é contínua em t=0, satisfazendo a hipótese.

Passo 5

Porém, ao longo do caminho y=x^2 (parametrizado por x=t, y=t^2),
f(t,t^2)=t^2,t^2t^4+t^4=t^42t^4=tfrac12,
logo o limite de f(t,t^2) quando t→0 é 1/2≠0=f(0,0). Isso mostra que f não é contínua em (0,0).

Passo 6

Portanto, ter continuidade ao longo de todas as retas não garante continuidade total em (x₀,y₀).

Resposta

Falso.

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