Considere funções de duas variáveis reais a valores reais. Então é Verdadeiro ou falso?
Sejam
uma curva definida por
. Se, para qualquer escolha de
, a curva
é contínua em
, então
é contínua em (
).
Sejam
Passo 1
A questão quer saber se, para uma função f:D⊂ℝ²→ℝ, o fato de todas as restrições de f a retas que passam por (x₀,y₀) serem contínuas em t=0 (isto é, y(t)=f((x₀,y₀)+t(cosα,sinα)) contínua em t=0 para todo α) implica que f é contínua em (x₀,y₀). O conteúdo aqui é continuidade em ℝⁿ e continuidade por composição com curvas.
Continuar recordando que f é contínua em (x₀,y₀) se, para qualquer caminho genérico (x(t),y(t))→(x₀,y₀), temos f(x(t),y(t))→f(x₀,y₀). A hipótese só garante isso quando o caminho é uma reta de direção (cosα,sinα).
Continuar recordando que f é contínua em (x₀,y₀) se, para qualquer caminho genérico (x(t),y(t))→(x₀,y₀), temos f(x(t),y(t))→f(x₀,y₀). A hipótese só garante isso quando o caminho é uma reta de direção (cosα,sinα).
Passo 2
Para mostrar que a hipótese não é suficiente, vamos construir um contraexemplo clássico. Definimos f:ℝ²→ℝ por f(0,0)=0 e, para (x,y)≠(0,0),
Apresentamos f(x,y) em bloco:
Apresentamos f(x,y) em bloco:
Passo 3
Agora verificamos que, ao longo de qualquer reta parametrizada por (x,y)=(t\cosα,t\sinα), temos
Passo 4
Ou seja, cada curva y(t)=f((0,0)+t(cosα,sinα)) é contínua em t=0, satisfazendo a hipótese.
Passo 5
Porém, ao longo do caminho y=x^2 (parametrizado por x=t, y=t^2),
logo o limite de f(t,t^2) quando t→0 é 1/2≠0=f(0,0). Isso mostra que f não é contínua em (0,0).
Passo 6
Portanto, ter continuidade ao longo de todas as retas não garante continuidade total em (x₀,y₀).
Resposta
Falso.