Calcule as integrais abaixo, indicando a técnica de integração utilizada.
integral cos ^2(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^2(2t),dt. O conteúdo é integral de uma potência de função trigonométrica e vamos precisar usar a identidade de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência para cosseno:
cos^2 x = 1+cos(2x)2
Aqui, tomamos x=2t, de modo que
cos^2(2t)=1+cos(4t)2

Passo 3

Substituímos a identidade na integral e separamos em duas partes:
integral cos^2(2t),dt = integral 1+cos(4t)2,dt = 12integral dt + 12integral cos(4t),dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  • 12integral dt= t2
  • Para 12integral cos(4t),dt, usamos integral cos(4t),dt=sin(4t)4, obtendo 12cdotsin(4t)4=sin(4t)8

Passo 5

Juntando os resultados das duas integrais e incluindo a constante de integração, concluímos o cálculo.

Resposta

integralcos^2(2t),dt = t2 + sin(4t)8 + C

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