Calcule as integrais abaixo, indicando a técnica de integração utilizada.
integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^-thetacos(2theta),dtheta. O conteúdo é integração de produto de exponencial e função trigonométrica; vamos usar a técnica de integração por partes duas vezes e depois resolver uma equação para a própria integral.

Passo 2

Chamando I=integral e^-thetacos(2theta),dtheta, aplicamos integração por partes escolhendo
u=cos(2theta) e dv=e^-thetadtheta. Então
du=-2sin(2theta)dtheta e v=-e^-theta.
Usando I=uv-integral v,du obtemos
I = -e^-thetacos(2theta) - 2integral e^-thetasin(2theta),dtheta

Passo 3

Denotando J=integral e^-thetasin(2theta),dtheta, repetimos partes: escolha u=sin(2theta), dv=e^-thetadtheta. Temos du=2cos(2theta)dtheta e v=-e^-theta. Logo
J = -e^-thetasin(2theta) + 2integral e^-thetacos(2theta),dtheta = -e^-thetasin(2theta) + 2I

Passo 4

Substituindo J em I = -e^-thetacos(2theta) - 2J obtemos
I = -e^-thetacos(2theta) - 2(-e^-thetasin(2theta) + 2I) = -e^-thetacos(2theta) +2e^-thetasin(2theta) -4I
Reorganizando, 5I = e^-theta(2sin(2theta)-cos(2theta)).

Passo 5

Isolando I, concluímos que
I = e^-theta5l(2sin(2theta)-cos(2theta)r) + C

Resposta

integral e^-thetacos(2theta),dtheta = e^-theta5l(2sin(2theta)-cos(2theta)r) + C

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